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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | K Körper, mn,p [mm] \in \IN, [/mm] B [mm] \in K^{p x n}
[/mm]
b) Ke(M):= {x | Mx=0}, wobei M Matrix
zz: dim [mm] Ke(BA)\le [/mm] dim Ke(A) + dim Ke(B); A [mm] \in K^{n x m} [/mm] |
Hallo.
Ich lass die c) und d) erstmal weg. Die a) hab ich gut hinbekommen.
Nur hier finde ich irgendwie keinen Ansatz.
Kann mir da jemand helfen?
Dankeschön :) Gruß SolRakt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mo 30.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> K Körper, mn,p [mm]\in \IN,[/mm] B [mm]\in K^{p x n}[/mm]
>
> b) Ke(M):= {x | Mx=0}, wobei M Matrix
>
> zz: dim [mm]Ke(BA)\le[/mm] dim Ke(A) + dim Ke(B); A [mm]\in K^{n x m}[/mm]
>
> Hallo.
>
> Ich lass die c) und d) erstmal weg. Die a) hab ich gut
> hinbekommen.
>
> Nur hier finde ich irgendwie keinen Ansatz.
>
> Kann mir da jemand helfen?
Laut Definition ist
[mm] \mathop{\mathrm{Ke}}(BA) = \{x \mid BAx = 0 \} [/mm]
Sei nun [mm] $x\in \mathop{\mathrm{Ke}}(BA)$. [/mm] Dann ist entweder $Ax=0 [mm] \gdw x\in\mathop{\mathrm{Ke}}(A) [/mm] $ oder [mm] $Ax\not=0 \gdw [/mm] Ax [mm] \in \mathop{\mathrm{Ke}}(B)$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke Rainer,
Ich verstehe das auch, nur würde ich jetzt nie auf die zu zeigende Formel kommen. Ich seh das irgendwie nicht. Kannst du oder jemand anders mir da weiterhelfen?
Danke nochmal :)
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Hallo SolRakt,
> K Körper, mn,p $ [mm] \in \IN, [/mm] $ B $ [mm] \in K^{p x n} [/mm] $
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> b) Ke(M):= {x | Mx=0}, wobei M Matrix
> zz: dim $ [mm] Ke(BA)\le [/mm] $ dim Ke(A) + dim Ke(B); A $ [mm] \in K^{n x m} [/mm] $
Diese Aufgabe geht alternativ auch über einen Widerspruchsbeweis. Die zu BA assoziierte lineare Abbildung bildet von [mm] \IR^m [/mm] nach [mm] \IR^p [/mm] ab
Angenommen es würde gelten
(*) [mm] $\dim Ke(BA)=\dim [/mm] Ke(A) + [mm] \dim Ke(B)+k,\qquad k\in\IN\:\: [/mm] (k>0)$
Nach Dimensionsformel gilt:
(1) [mm] $\dim Im(A)=m-\dim Ke(A)\qquad$ [/mm] wobei [mm] $m=\dim\IR^m$ [/mm]
Die Matrix B wird nun nur mit Vektoren aus Im(A) gefüttert. Daher gilt:
(2) [mm] $\dim Im(BA)=\dim Im(B_{|Im(A)})\geq\dim Im(A)-\dim [/mm] Ke(B)$
Wegen (1) und (*) bedeutet dies:
[mm] $\ldots=\left[m-\dim Ke(A)\right]-\dim Ke(B)=m+\left[k-\dim Ke(BA)\right]$
[/mm]
Es gilt also (zusammengefasst):
(3) [mm] $\dim Im(BA)+\dim Ke(BA)\geq [/mm] m+k$
Damit erhalten wir wegen k>0 einen Widerspruch von (3) zur folgenden Dimensionsformel:
[mm] $\dim Im(BA)+\dim Ke(BA)=m=\dim\IR^m$
[/mm]
Also muss gelten [mm] $\dim Ke(BA)\leq\dim [/mm] Ke(A) + [mm] \dim [/mm] Ke(B)$
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:12 Di 31.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | c) Betrachte man die linearen Abbildungen [mm] f_{B}: K^{n} \to K^{p}, [/mm] v [mm] \mapsto [/mm] Bv und [mm] g_{B}: K^{1xp} \to K^{1xn}, [/mm] w [mm] \mapsto [/mm] wB
Sei A eine Matrix, deren Spalten ein Erzeugendensystem von [mm] Ke(f_{B}) [/mm] sind.
Zeigen Sie, dass
[mm] Ke(f_{B})^{d}:={u \in K^{1xn} | \forall v \in Ke(f_{B}): uv=0} [/mm] = [mm] Bi(g_{B})
[/mm]
d) Sei A [mm] \in K^{nxp}, [/mm] sodass [mm] BA=I_{p}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] K^{n}=AK^{p} \oplus [/mm] Ke(B).
Hinweis: x=ABx+(x-ABx) |
Danke sehr :) Jetzt hab ichs auch (mehr oder weniger) verstanden. Naja ich schaus mir erstmal genau an.
Kann mir denn jemand auch bei der c) und d) helfen?
Ich weiß, dass man bei der c) zwei Inklusionen zeigen muss (für die Mengengleichheit), aber ich finde wieder mal gar keinen Ansatz :(
Der Hinweis bei der d) hilft mir irgendwie auch nicht weiter :(
Ich danke wirklich sehr für Hilfe.
Gruß SolRakt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Do 02.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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