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Beweis Inverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Do 19.05.2011
Autor: Klempner

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für eine invertierbare 2x2 Matrix [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] gilt, dass  B= [mm] \bruch{1}{det (A)}\pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm] die Inverse von A ist.

Hallo!

Mir fehlt hier leider ein völliger Ansatz wie ich dies zeigen könnte. Hatte erst gedacht, dass man vielleicht über den Gauß-Algorithmus [mm] A^{-1} [/mm] berechnen könnte und dann so zeigt, dass die Annahme stimmt. Aber leider kann man das mit Buchstaben nicht so leicht machen.

Könnte mir jemand vielleicht eine Idee geben, wie ich vorgehen könnte?

Gruß Klempner

Ich habe diese Frage in kein Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.

        
Bezug
Beweis Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Do 19.05.2011
Autor: Theoretix

Hi,

du kannst ganz einfach die Idendität ausnutzen, es muss doch gelten:

[mm] A\cdot A^{-1}=I, [/mm] wobei [mm] A^{-1} [/mm] die Inverse von A ist (also in deinem Beispiel B)

Jetzt kannst du doch einfach stur ausrechnen:

Um zu zeigen, dass [mm] B=\frac{1}{det A}\pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm] die inverse von A ist muss doch gelten:

[mm] A\cdot [/mm] B=I [mm] \gdw \pmat{ a & b \\ c & d }\cdot \frac{1}{det A}\pmat{ d & -b \\ -c & a }=I, [/mm]

wobei du die Determinante ja über das Standardverfahren erhälst, also es gilt det A=ad-bc...

Klar?

Hoffe, es hat geholfen!

Gruß

Bezug
                
Bezug
Beweis Inverse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:39 Do 19.05.2011
Autor: Klempner

Ah ja klar.

Danke dir!

Bezug
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