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Hallo 
Es geht um folgenden Beweis:
Sei f:[a,b] [mm] \to \IC [/mm] gegeben..dann gilt:
| [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] | [mm] \le \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}
[/mm]
So..der Ansatz des Beweises lautet:
Sei J:= | [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] |
Für J= 0 ist die Aussage klar. Sei J > 0
Dann kann man schreiben:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = J * [mm] e^{i \alpha}, \alpha \in \IR
[/mm]
Den rest des Beweises verstehe ich auch..nur wieso kann man diesen Ansatz machen?
Danke für Hilfe..
LG MatheJunge
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Hiho,
> Den rest des Beweises verstehe ich auch..nur wieso kann man diesen Ansatz machen?
"normalerweise" werden komplexe Zahlen ja eingeführt als $z=a + bi, a,b [mm] \in \IR$.
[/mm]
Nun kann man aber auch die Polardarstellung verwenden: $z = [mm] r\left(\cos\alpha + i\sin\alpha\right)$, [/mm] wobei [mm] $r\ge [/mm] 0$.
Mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) eulerschen Identität kann man das Umschreiben zu $z = [mm] re^{i\alpha}$.
[/mm]
D.h. jede komplexe Zahl hat eine eindeutige Darstellung der Form $z=a+bi, [mm] a,b\in\IR$ [/mm] als auch der Form $z = [mm] re^{i\alpha}, r\ge [/mm] 0, [mm] \alpha\in \left[0,2\pi\right)$.
[/mm]
Man kann leicht zeigen (wieder mit der eulerschen Identität), dass [mm] $\left|e^{i\alpha}\right| [/mm] = 1$ für [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] gilt und erhält damit sofort: $r = |z|$, d.h. es gilt wirklich für jede komplexe Zahl:
$z = [mm] |z|e^{i\alpha}$ [/mm] für geeignetes [mm] $\alpha\in\left[0,2\pi\right)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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