Beweis Hilfestellung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Habe folgendes Beispiel zu lösen, weiß aber diesmal überhaupt keinen Ansatz, wie ich dieses Aufgabe beweisen soll.
Seien [mm] x_{1},...,x_{n} \in \IR^{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass genau ein x [mm] \in \IR^{n} [/mm] existiert und bestimmen Sie dieses, sodass die Summe der Quadrate der Abstände von x zu [mm] \x_{i}, [/mm] das heißt [mm] \summe_{i=1}^{m} \parallel [/mm] x - [mm] x_{i} \parallel^{2}_{2}, [/mm] minimiert wird.
Danke für eure Hilfe!
Grüße,
Christian.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Di 08.03.2005 | | Autor: | felixs |
morgen.
> Seien [mm]x_{1},...,x_{n} \in \IR^{n}.[/mm] Zeigen Sie, dass
> genau ein x [mm]\in \IR^{n}[/mm] existiert und bestimmen Sie dieses,
> sodass die Summe der Quadrate der Abstände von x zu [mm]\x_{i},[/mm]
> das heißt [mm]\summe_{i=1}^{m} \parallel[/mm] x - [mm]x_{i} \parallel^{2}_{2},[/mm]
> minimiert wird.
ich wuerd das ding einfach mal nach [mm] $x=(x^{(1)},\ldots,x^{(n)})$ [/mm] ableiten.
dannn steht da sowas wie
[mm] $(\partial_{x^(1)}, \ldots [/mm] , [mm] \partial_{x^(n)}) \sum_{i} \langle x-x_i [/mm] , [mm] x-x_i \rangle$
[/mm]
$ = [mm] \left( \partial_x^{(k)} \sum_{i} \sum_{l} (x^{(l)}-x_i^{(l)})^2 \right)_{k \in \{1,\ldots,n\}}$
[/mm]
das soll irgendwie $0$ sein. und da kommt man dann ziemlich schnell auf $ { [mm] x^{(k)}=\sum_i x_i^{(k)}} [/mm] / { m } [mm] \, \forall [/mm] k$.
danach musst du natuerlich noch die 2. ableitung an der stelle ausrechnen. sollte eigentlich pos. def. sein und so...
hth
--felix
|
|
|
|
