Beweis: Gruppe /Isomorphiesatz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Sei G eine (multiplikative, nicht unbedingt abelsche) Gruppe. Ein Normalteiler von G ist eine Untergruppe N von G, so dass [mm] g^{-1} Ng\subseteq [/mm] N für jedes [mm] g\in [/mm] G ist.
a) Durch [mm] g\sim h\gdw g^{-1} h\in [/mm] N für g, [mm] h\in [/mm] N wird eine Äquivalenzrelation definiert. Die Äquivalenzklasse von [mm] g\in [/mm] G bezeichnen wir mit gN, und die Menge aller Äquivalenzklassen mit G/N. Zeigen Sie, dass durch (gN)(hN)=(gh)N für g, [mm] h\in [/mm] G G/N zu einer Gruppe wird.
b) Sei [mm] \pi [/mm] : [mm] G\to [/mm] G/N: [mm] g\mapsto [/mm] gN. Zeigen Sie, dass [mm] \pi [/mm] Gruppenhomomorphismus ist.
c) Zeigen Sie den 1. Isomorphiesatz für Gruppen:
Sei f: [mm] G\to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus und [mm] N\subseteq [/mm] ker f ein Normalteiler von G.
Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus f': [mm] G/N\to [/mm] H, sodass [mm] f'\circ \pi [/mm] =f ist. |
Hallo!
Diese Aufgabe macht mir ein paar Probleme.
Zu Teilaufgabe a) habe ich einen Ansatz:
Wenn G eine multiplikative Gruppe ist, gilt:
Assoziativität: (ab)c = a(bc)
Existenz eines neutralen Elements (das nenne ich mal n): a*n = a
Existenz eines Inversen: [mm] a*a^{-1} [/mm] = n (das neutrale Element)
Jetzt versuche ich, diese Axiome auf G/N zu übertragen, da z.z ist, dass G/N eine Gruppe ist:
Assoziativität:
Seien g, h, s [mm] \in [/mm] G: ((gN)(hN))*(sN) = (gh)N*(sN) = ((gh)s)N =(da G Gruppe) (g(hs))N = (gN)*(hs)N = (gN)*((hN)(sN))
neutrales Element n: Es muss gelten:
(gN)*n = (gN); [mm] g\in [/mm] G
Lt. Def: (gN) = (da G Gruppe) (g*1)N = (gN)(1N), also ist n=1N=N.
Kann N das neutrale Element sein?
Das Inverse hab ich nicht hinbekommen; dann müsste ja eigentlich gelten:
[mm] gN*(gN)^{-1} [/mm] =N (wenn N neutr. Element ist), und da weiß ich nicht, wie ich umformen darf.
Stimmen diese Ansätze soweit?
Zu b) und c) habe ich noch keine Idee; es wäre aber sehr nett, wenn ihr mir schonmal zur a) ein paar Tipps geben könntet!
Ich brüte dann nochmal über b) und c) und poste meine Ansätze, sobald ich eine Idee habe!
Vielen Dank schonmal & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
füge in deiner aufgabenstellung bitte noch ein paar leerzeichen (zwischen den LaTeX-befehlen und dem nächsten zeichen) ein, sonst werden die formeln teilweise nicht dargestellt.
zu deiner aufgabe:
> Zu Teilaufgabe a) habe ich einen Ansatz:
>
> Wenn G eine multiplikative Gruppe ist, gilt:
> Assoziativität: (ab)c = a(bc)
> Existenz eines neutralen Elements (das nenne ich mal n):
> a*n = a
> Existenz eines Inversen: [mm]a*a^{-1}[/mm] = n (das neutrale
> Element)
>
> Jetzt versuche ich, diese Axiome auf G/N zu übertragen, da
> z.z ist, dass G/N eine Gruppe ist:
> Assoziativität:
> Seien g, h, s [mm]\inG:[/mm] ((gN)(hN))*(sN) = (gh)N*(sN) =
> ((gh)s)N =(da G Gruppe) (g(hs))N = (gN)*(hs)N =
> (gN)*((hN)(sN))
ja, das passt.
> neutrales Element n: Es muss gelten:
> (gN)*n = (gN); [mm]g\inG[/mm]
> Lt. Def: (gN) = (da G Gruppe) (g*1)N = (gN)(1N), also ist
> n=1N=N.
>
> Kann N das neutrale Element sein?
ja, kann es.
> Das Inverse hab ich nicht hinbekommen; dann müsste ja
> eigentlich gelten:
> [mm]gN*(gN)^{-1}=N[/mm] (wenn N neutr. Element ist), und da weiß
> ich nicht, wie ich umformen darf.
in $G$ kennst du das neutrale element von $g$, vielleicht kannst du ja mit dessen äquivalenzklasse hier etwas anfangen?
du musst hier noch die wohldefiniertheit der multiplikation zeigen, das heißt sind $gN = g'N$ und $hN = h'N$, gilt dann auch $ghN = g'h'N$?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Casy |
OK, erstmal die Wohldefiniertheit der Multiplikation:
(gh)N = (lt. Def.) (gN)(hN) = (g'N)(h'N) = (g'h')N, also wohldefiniert.
So?
Und wozu (zu welchem Teil) muss ich das zeigen?
Das neutrale Element von g in G ist 1, die Äquivalenzklasse dazu ist 1N.
Gut, dann muss ich zeigen:
[mm] (gN)(gN)^{-1}=1N [/mm] (wollte ich doch eben auch schon.... falsch?)
Wenn ich jetzt zusammenfassen dürfte:
[mm] (gN)(gN)^{-1}=(gN)(g^{-1} N^{-1} [/mm] )= [mm] (gg^{-1})N
[/mm]
...nein, das passt nicht. Da hab ich ja [mm] N^{-1} [/mm] "übrig".
Wie fasse ich das dann zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> OK, erstmal die Wohldefiniertheit der Multiplikation:
>
> (gh)N = (lt. Def.) (gN)(hN) = (g'N)(h'N) = (g'h')N, also
> wohldefiniert.
>
> So?
so kann man das nicht machen. das mittlere gleichheitszeichen ist ja a priori gar nicht definiert (was ist die multiplikation von mengen?), sondern soll hier erst definiert werden. lies dir vielleicht mal ![[]](/images/popup.gif) das oder das durch, vielleicht wird es dir damit etwas klarer.
> Und wozu (zu welchem Teil) muss ich das zeigen?
beim verifizieren der gruppenaxiome - hier kommt eben die repräsentantenabhängigkeit ins spiel...
> Das neutrale Element von g in G ist 1, die Äquivalenzklasse
> dazu ist 1N.
> Gut, dann muss ich zeigen:
> [mm](gN)(gN)^{-1}=1N[/mm] (wollte ich doch eben auch schon....
> falsch?)
das ist schon richtig, nur weiß man ja nicht, was [mm] $(gN)^{-1}$ [/mm] ist, aber ein gute kandidat ist [mm] $g^{-1}N$, [/mm] siehe unten...
> Wenn ich jetzt zusammenfassen dürfte:
> [mm](gN)(gN)^{-1}=(gN)(g^{-1} N^{-1}[/mm] )= [mm](gg^{-1})N[/mm]
bedenke, wie die multiplikation definiert war: $(aN)(bN) := abN$. nun probiere mal [mm] $(gN)(g^{-1}N)$ [/mm] zu berechnen, was ergibt das?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Di 13.05.2008 | | Autor: | Casy |
....moment.... mit dem mittleren Gleichheitszeichen setze ich doch nur ein:
> gN=g'N und hN=h'N (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (gN)(hN)=(g'N)(h'N),
wieso darf ich das nicht, (1) setze ich doch voraus, um Wohldef. zu zeigen?
Anderer Versuch: Kann ich einfach sagen, die Wohldef. geht unmittelbar aus der Normalteilereigenschaft hervor? wenn g', h' [mm] \in [/mm] G, dann gilt doch die Gleichung (in Teilaufgabe a) gegeben) automatisch??
Wenn ich mich mit der Wohldef. etwas doof anstelle, hoffe ich, dass ich jetzt richtiger liege:
Zum Inversen: zu zeigen ist:
[mm] (gN)(gN)^{-1} [/mm] = 1N
> das ist schon richtig, nur weiß man ja nicht, was $ [mm] (gN)^{-1} [/mm] $ ist, aber
> ein gute kandidat ist $ [mm] g^{-1}N [/mm] $, siehe unten...
Ich finde auch, dass [mm] (gN)^{-1} [/mm] = [mm] g^{-1} [/mm] N ein guter Kandidat ist, aber muss ich das irgendwie zeigen?
Dann wäre [mm] (gN)(gN)^{-1} [/mm] = [mm] (gN)(g^{-1} [/mm] N) = (Lt. Def) [mm] (gg^{-1} [/mm] )N = 1N (da g und [mm] g^{-1} [/mm] invers, da G Gruppe),
also habe ich mein Inverses gefunden: [mm] (g^{-1} [/mm] N).
So??
So, und jetzt mein Ansatz zu Teilaufgabe b):
Wenn [mm] \pi [/mm] Gruppenhomomorphismus ist, muss gelten:
Für alle g, g' [mm] \in [/mm] G:
[mm] \pi [/mm] (gg') = [mm] \pi [/mm] (g) (g')
Also: [mm] \pi [/mm] (gg') =(Def. [mm] \pi [/mm] ) (gg')N = (Def. aus a)) (gN)(g'N) = [mm] \pi [/mm] (g) [mm] \pi [/mm] (g')
Also ist [mm] \pi [/mm] ein Gruppenhomomorphismus. Fertig?
Zur c habe ich noch keine Ideen; aber ich wäre froh, wenn du mir erstmal mit diesen Teilaufgaben weiterhelfen könntest!
Danke und Gruß!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:16 Do 15.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Casy
> ....moment.... mit dem mittleren Gleichheitszeichen setze
> ich doch nur ein:
> > gN=g'N und hN=h'N (1) [mm]\Rightarrow[/mm] (gN)(hN)=(g'N)(h'N),
> wieso darf ich das nicht, (1) setze ich doch voraus, um
> Wohldef. zu zeigen?
Also: per Definition ist $(g N) (h N) = (g h) N$ und $(g' N) (h' N) = (g' h') N$.
Um also $(g N) (h N) = (g' N) (h' N)$ zu zeigen, musst du zeigen, dass $(g h) N = (g' h') N$ ist! Du kannst nicht schon benutzen, dass $(g N) (h N) = (g' N) (h' N)$ ist!
> Anderer Versuch: Kann ich einfach sagen, die Wohldef. geht
> unmittelbar aus der Normalteilereigenschaft hervor? wenn
> g', h' [mm]\in[/mm] G, dann gilt doch die Gleichung (in Teilaufgabe
> a) gegeben) automatisch??
Was heisst hier ``automatisch''? Warum gilt sie denn? Genau das ist doch gerade gefragt!
> Wenn ich mich mit der Wohldef. etwas doof anstelle, hoffe
> ich, dass ich jetzt richtiger liege:
>
> Zum Inversen: zu zeigen ist:
> [mm](gN)(gN)^{-1}[/mm] = 1N
>
> > das ist schon richtig, nur weiß man ja nicht, was [mm](gN)^{-1}[/mm]
> ist, aber
> > ein gute kandidat ist [mm]g^{-1}N [/mm], siehe unten...
>
> Ich finde auch, dass [mm](gN)^{-1}[/mm] = [mm]g^{-1}[/mm] N ein guter
> Kandidat ist, aber muss ich das irgendwie zeigen?
>
> Dann wäre [mm](gN)(gN)^{-1}[/mm] = [mm](gN)(g^{-1}[/mm] N) = (Lt. Def)
> [mm](gg^{-1}[/mm] )N = 1N (da g und [mm]g^{-1}[/mm] invers, da G Gruppe),
> also habe ich mein Inverses gefunden: [mm](g^{-1}[/mm] N).
>
> So??
Ja. Hier verwendest du, dass du schon gezeigt hast, dass $(g N) (h N) = (g h) N$ wohldefiniert ist.
> So, und jetzt mein Ansatz zu Teilaufgabe b):
>
> Wenn [mm]\pi[/mm] Gruppenhomomorphismus ist, muss gelten:
> Für alle g, g' [mm]\in[/mm] G:
> [mm]\pi[/mm] (gg') = [mm]\pi[/mm] (g) (g')
>
> Also: [mm]\pi[/mm] (gg') =(Def. [mm]\pi[/mm] ) (gg')N = (Def. aus a))
> (gN)(g'N) = [mm]\pi[/mm] (g) [mm]\pi[/mm] (g')
>
> Also ist [mm]\pi[/mm] ein Gruppenhomomorphismus. Fertig?
Genau.
> Zur c habe ich noch keine Ideen;
Ueberleg dir einfach, wie $f'$ aussehen muss. Es gibt nur genau eine Wahl! Wenn du ihn so definierst, musst du noch zeigen dass er wohldefiniert ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Do 15.05.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo!
Erstmal Danke für deine Hilfe.
Jetzt kommt noch ein verzweifelter versuch,
(g N) (h N) = (g' N) (h' N) zu zeigen. (Tutu mit leid, ich hab keine bessere Idee!)
Also: (gh)N = (gN)(hN) = g(Nh)N = g(hN)N = g(h'N)N = (gh')NN = (gh')N = (gN)(h'N) = (g'N)(h'N) = (g'h')N, also auch (g N) (h N) = (g' N) (h' N).
Sorry, ich steh total auf dem Schlauch, ich blick nicht, was ich machen muss.
Zur c) überleg ich mir bis morgen was, leider muss ich heute nämlich arbeiten und habe keine Zeit, die c) zu lösen.
Ich wäre aber dankbar, wenn du mir trotzdem noch ein bisschen weiterhilfst!
Gru?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 15.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> (g N) (h N) = (g' N) (h' N) zu zeigen. (Tutu mit leid, ich
> hab keine bessere Idee!)
> Also: (gh)N = (gN)(hN) = g(Nh)N = g(hN)N
das ist im prinzip der entscheidende schritt: warum gilt $hN = Nh$? bei euch der ausdruck $Ng$ gar nicht definiert ist, sondern nur $gN$, so kannst du es also mit euren definition also nicht zeigen. eine alternative siehe weiter unten.
> = g(h'N)N =
> (gh')NN = (gh')N = (gN)(h'N) = (g'N)(h'N) = (g'h')N, also
> auch (g N) (h N) = (g' N) (h' N).
um mal das problem etwas genauer aufzuzeigen (und damit vielleicht ein hinweis auf die lösung zu geben?): die multiplikation [mm] $\cdot: (G/\sim) \times (G/\sim) \longrightarrow (G/\sim)$ [/mm] ist hier auf äquivalenzklassen (nämlich den $gN$) definiert. und bei sowas muss man immer zeigen, dass die abbildung sinnvoll ist, da sie auf allen werten der seleben äquivalenzklasse den selben wert annehemen muss, da man das eben sonst nicht als abbildung auf den äquivalenzklassen hinschreiben darf. du musst dir also klar machen, dass wenn die elemente deren äquivalenzklassen du multiplizierst äquivalent bezüglich der in deiner fragestellung definierten relation sind, dass es die bilder unter der abbildung auch sind, du musst also zeigen:
$g [mm] \sim [/mm] g', h [mm] \sim [/mm] h' [mm] \; \Longrightarrow \; [/mm] gh [mm] \sim [/mm] g'h'$
(genau das ist ja die bedeutung von $gN = g'N, hN = h'N [mm] \; \Longrightarrow \; [/mm] ghN = g'h'N$). nun überlege dir, was das bedeutet, wenn du dies mit hilfe der definition der relation ausdrückst und welche voraussetzungen du an $N$ hast...
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Casy |
OK, danke.
> [mm]g \sim g', h \sim h' \; \Longrightarrow \; gh \sim g'h'[/mm]
das heißt, wir setzen voraus:
[mm] g\sim [/mm] g' [mm] \gdw g^{-1} [/mm] g' [mm] \in [/mm] N
[mm] h\sim [/mm] h' [mm] \gdw h^{-1} [/mm] h' [mm] \in [/mm] N, d.h. [mm] g^{-1} [/mm] g' und [mm] h^{-1} [/mm] h' [mm] \in [/mm] N. (a)
Wenn gh [mm] \sim [/mm] g'h', muss gelt en: [mm] (gh)^{-1} [/mm] (g'h') [mm] \in [/mm] N;
[mm] (gh)^{-1} [/mm] (g'h') = [mm] g^{-1} h^{-1} [/mm] g'h' = [mm] g^{-1} [/mm] g' [mm] h^{-1} [/mm] h' [mm] \in [/mm] N, also [mm] g^{-1} [/mm] g' und [mm] h^{-1} [/mm] h' [mm] \in [/mm] N. Das ist gleich (a), also gilt gh [mm] \sim [/mm] g'h'.
Davon bin ich nicht so ganz überzeugt (ich habe z.B. Kommutativität verwendet, obwohl die Gruppe explizit nicht unbedingt abelsch ist), aber anders hab ich 's nicht zusammengebracht.
Zur c) habe ich mal angefangen:
f': [mm] G/H\to [/mm] H, [mm] f'\circ \pi [/mm] = f,
also ist f': [mm] f'(\pi [/mm] (g)) (G [mm] \in [/mm] G) = f'(gN) (Def. v. [mm] \pi [/mm] mit gN [mm] \in [/mm] G/N = h [mm] \in [/mm] H; das geht ja noch aus der Aufgabenstellung hervor.
Dann zeige ich jetzt, dass das Ganze ein Gruppenhomomorphismus ist, und zwar genauso wie in b): Seien g, h aus G, dann ist zu zeigen
f'((gN)(hN)) = f'(gN)f'(hN).
Und Wohldefiniertheit zeige ich noch, denke ich.
Reicht das dann für die c)?
Vielleicht sollten wir das mit der Wohldefiniertheit aufgeben? Ich krieg das nicht hin! :o((
Trotzdem danke und Gruß!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> > [mm]g \sim g', h \sim h' \; \Longrightarrow \; gh \sim g'h'[/mm]
>
> das heißt, wir setzen voraus:
> [mm]g\sim[/mm] g' [mm]\gdw g^{-1}[/mm] g' [mm]\in[/mm] N
> [mm]h\sim[/mm] h' [mm]\gdw h^{-1}[/mm] h' [mm]\in[/mm] N, d.h. [mm]g^{-1}[/mm] g' und [mm]h^{-1}[/mm]
> h' [mm]\in[/mm] N. (a)
>
> Wenn gh [mm]\sim[/mm] g'h', muss gelt en: [mm](gh)^{-1}[/mm] (g'h') [mm]\in[/mm] N;
> [mm](gh)^{-1}[/mm] (g'h') = [mm]g^{-1} h^{-1}[/mm] g'h' = [mm]g^{-1}[/mm] g' [mm]h^{-1}[/mm]
> h' [mm]\in[/mm] N, also [mm]g^{-1}[/mm] g' und [mm]h^{-1}[/mm] h' [mm]\in[/mm] N. Das ist
> gleich (a), also gilt gh [mm]\sim[/mm] g'h'.
>
> Davon bin ich nicht so ganz überzeugt (ich habe z.B.
> Kommutativität verwendet, obwohl die Gruppe explizit nicht
> unbedingt abelsch ist), aber anders hab ich 's nicht
> zusammengebracht.
für abelsche gruppen kann man das so machen. du hast aber die vorausgesetzte normalteilereigenschaft nicht verwendet. diese braucht man bei abelschen gruppen auch nicht, da diese von jeder untergruppe erfüllt wird.
um das allgemein zu zeigen geben wir den verwendeten elementen doch mal namen:
(1) $g [mm] \sim [/mm] g' [mm] \; \Longleftrightarrow \; g^{-1}g' [/mm] = [mm] n_1 \in [/mm] N$
(2) $h [mm] \sim [/mm] h' [mm] \; \Longleftrightarrow \; h^{-1}h' [/mm] = [mm] n_2 \in [/mm] N$
wie du richtig geschrieben hast musst du nun um $gh [mm] \sim [/mm] g'h'$ zu zeigen, zeigen dass [mm] $(gh)^{-1}(g'h') \in [/mm] N$. dabei wird sich als nützlich erweisen, dass
(3) [mm] $gNg^{-1} \subseteq [/mm] N$
für alle $g [mm] \in [/mm] G$ gilt, du also terme der form [mm] $g_0n_0g_0^{-1}$ [/mm] mit [mm] $g_0 \in [/mm] G$ und [mm] $n_0 \in [/mm] N$ durch ein [mm] $n_3 \in [/mm] N$ ersetzen darfst. man erhält nun (beachte, dass sich beim invertieren eines produkts die reihenfolge der faktoren umdreht, wenn man die faktoren einzeln invertiert: [mm] $(AB)^{-1} [/mm] = [mm] B^{-1}A^{-1}$):
[/mm]
[mm] $(gh)^{-1}(g'h') [/mm] = [mm] h^{-1}g^{-1}g'h' \stackrel{\textrm{(1)}}{=} h^{-1}n_1h' [/mm] = ... $
um hier weiter zu rechnen kannst du ja mal die gleichung in (2) so umformen, dass du sie für ein element einsetzen kannst und dann vielleicht noch (3) verwenden und erhälst...
> Zur c) habe ich mal angefangen:
> f': [mm]G/H\to[/mm] H, [mm]f'\circ \pi[/mm] = f,
> also ist f': [mm]f'(\pi[/mm] (g)) (G [mm]\in[/mm] G) = f'(gN) (Def. v. [mm]\pi[/mm]
> mit gN [mm]\in[/mm] G/N = h [mm]\in[/mm] H; das geht ja noch aus der
> Aufgabenstellung hervor.
aus der gewünschten faktorisierung folgt doch, dass $f(g) = f' [mm] \circ \pi(g) [/mm] = f'(gN)$ gelten muss. du hast also - falls so ein $f'$ existiert - die abbildungsvorschrift explizit gegeben.
> Dann zeige ich jetzt, dass das Ganze ein
> Gruppenhomomorphismus ist, und zwar genauso wie in b):
> Seien g, h aus G, dann ist zu zeigen
> f'((gN)(hN)) = f'(gN)f'(hN).
genau.
> Und Wohldefiniertheit zeige ich noch, denke ich.
ja, auch die musst du zeigen. also aus $gN = hN$ muss $f'(gN) = f'(hN)$ folgen, also nach obigem $f(g) = f(h)$. du hast aber eine bestimmte voraussetzung an das $N$, welche dir hier helfen wird.
> Reicht das dann für die c)?
ja.
> Vielleicht sollten wir das mit der Wohldefiniertheit
> aufgeben? Ich krieg das nicht hin! :o((
jetzt probiere das nochmal, so schwer ist das gar nicht 
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 18.05.2008 | | Autor: | Casy |
Hi!
Gut, die Normalteilereigenschaft ist: [mm] g^{-1} [/mm] Ng bzw. [mm] gNg^{-1} \subset [/mm] N (...die beiden darf ich ja einfach vertauschen, nicht?!).
Dann sei [mm] g^{-1} [/mm] g' = [mm] n_{1} \in [/mm] N.
Wegen [mm] gNg^{-1} \subset [/mm] N gilt:
[mm] g_{0} n_{0} g_{0}^{-1} [/mm] = [mm] n_{3} [/mm] mit [mm] g_{0} \in [/mm] G, [mm] n_{0} [/mm] , [mm] n_{3} \in [/mm] N.
> wie du richtig geschrieben hast musst du nun um [mm]gh \sim g'h'[/mm]
> zu zeigen, zeigen dass [mm](gh)^{-1} (g'h') \in N[/mm].
....das heißt:
[mm] (gh)^{-1} [/mm] (g'h') = [mm] h^{-1} g^{-1} [/mm] g'h' = [mm] h^{-1} n_{1} [/mm] h' =* [mm] n_{2} [/mm] h'^{-1} [mm] n_{1} [/mm] h' =** [mm] n_{2} n_{4} \subseteq [/mm] N.
Auf * bin ich folgendermaßen gekommen:
aus (2): [mm] h^{-1} [/mm] h' = [mm] n_{2} \gdw [/mm] (*h'^{-1} ) [mm] h^{-1} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] h'^{-1} , dann habe ich [mm] h^{-1} [/mm] eingesetzt.
**: h'^{-1} [mm] n_{1} [/mm] h' = [mm] n_{4} [/mm] für ein [mm] h_{0} [/mm] , also ist h'^{-1} [mm] n_{1} [/mm] h' = [mm] n_{4} \subseteq [/mm] N.
Da [mm] n_{2} [/mm] ebenfalls [mm] \subseteq [/mm] N ist, gilt [mm] (gh)^{-1} [/mm] (g'h') [mm] \subseteq [/mm] N und somit gilt auch gh [mm] \sim [/mm] g'h' und ich hab die Wohldef. hoffentlich gezeigt.
Nochmal Danke für deine geduld!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 19.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Gut, die Normalteilereigenschaft ist: [mm]g^{-1}[/mm] Ng bzw.
> [mm]gNg^{-1} \subset[/mm] N (...die beiden darf ich ja einfach
> vertauschen, nicht?!).
ja.
> Dann sei [mm]g^{-1}[/mm] g' = [mm]n_{1} \in[/mm] N.
>
> Wegen [mm]gNg^{-1} \subset[/mm] N gilt:
> [mm]g_{0} n_{0} g_{0}[/mm] ^{-1} = [mm]n_{3}[/mm] mit [mm]g_{0} \in[/mm] G, [mm]n_{0}[/mm] ,
> [mm]n_{3} \in[/mm] N.
>
> > wie du richtig geschrieben hast musst du nun um [mm]gh \sim g'h'[/mm]
> > zu zeigen, zeigen dass [mm](gh)^{-1}(g'h') \in N[/mm].
>
> ....das heißt:
> [mm](gh)^{-1}[/mm] (g'h') = [mm]h^{-1} g^{-1}[/mm] g'h' = [mm]h^{-1} n_{1}[/mm] h' =*
> [mm]n_{2}[/mm] h'^{-1} [mm]n_{1}[/mm] h' =** [mm]n_{2} n_{4} \subseteq[/mm] N.
>
> Auf * bin ich folgendermaßen gekommen:
> aus (2): [mm]h^{-1}[/mm] h' = [mm]n_{2} \gdw[/mm] (*h'^{-1} ) [mm]h^{-1}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm]
> h'^{-1} , dann habe ich [mm]h^{-1}[/mm] eingesetzt.
>
> **: h'^{-1} [mm]n_{1}[/mm] h' = [mm]n_{4}[/mm] für ein [mm]h_{0}[/mm] , also ist
> h'^{-1} [mm]n_{1}[/mm] h' = [mm]n_{4} \subseteq[/mm] N.
>
> Da [mm]n_{2}[/mm] ebenfalls [mm]\subseteq[/mm] N ist, gilt [mm](gh)^{-1}[/mm] (g'h')
> [mm]\subseteq[/mm] N und somit gilt auch gh [mm]\sim[/mm] g'h' und ich hab
> die Wohldef. hoffentlich gezeigt.
ja, das passt jetzt alles. an ein paar stellen sollte [mm] $\in$ [/mm] statt [mm] $\subseteq$ [/mm] stehen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Casy |
...na da bin ich aber froh!
Habs dann jetzt auch verstanden, auch wenn's etwas länger gedauert hat ;o) .
Vielen Dank nochmal, dass du dir die Zeit genommen hast!
Gruß!
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