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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Mi 16.02.2005 | | Autor: | wysi |
Hallo
Habe meine liebe Mühe mit Teilen der Vektoranalysis:
Aufgabenstellung
Sei S eine orientierte Hyperfläche im Definitionsbereich der Funktion f : [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] .
Die Normalenableitung in den Punkten von S ist die Grösse [mm] \bruch{ \partial f}{ \partial n} [/mm] := [mm] \nabla{f}\* \vec{n}
[/mm]
Zu beweisen: Für einen beliebigen zulässigen Bereich [mm] B\subset\IR^{3} [/mm] und beliebige [mm] C^{2}-Funktionen [/mm] f und g gilt [mm] \integral_{B}^{}{(f \Delta g - g \Delta f)d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{ \partial B}^{}{(f \* \bruch{ \partial g}{ \partial n} - g \* \bruch{ \partial f}{ \partial n})d\omega}
[/mm]
Hinweis: Betrachte das Feld v := [mm] f\* \nabla{g}-g\* \nabla{f}
[/mm]
Lösungsansätze und Fragen
Idee: div v = [mm] f\Delta{g}-g\Delta{f} [/mm] und dann den Satz von Gauss anwenden.
Frage: Wie lässt sich dies nun am besten zeigen?
Kann man einfach div v = [mm] \nabla{(f\* \nabla{g}-g\* \nabla{f})} [/mm] schreiben?
Daraus würde dann ja folgen:
[mm] \nabla{(f\* \nabla{g}-g\* \nabla{f})} [/mm] = [mm] \nabla{f}\nabla{g}+f\Delta{g}-\nabla{g}\nabla{f}-g\Delta{f} [/mm] = [mm] f\Delta{g}-g\Delta{f}
[/mm]
und man wäre nahe an der Lösung.
Normalerweise sieht für mich ein Vektorfeld K so aus:
K = (x,y,z) = [mm] (a_1\*x^{\alpha_1}+b_1\*y^{\beta_1}+c_1\*z^{\gamma_1},a_2\*x^{\alpha_2}+b_2\*y^{\beta_2}+c_2\*z^{\gamma_2},a_3\*x^{\alpha_3}+b_3\*y^{\beta_3}+c_3\*z^{\gamma_3})
[/mm]
Wie sieht die analoge Form von v aus?
Weitere Lösungsschritte
[mm] \integral_{B}^{}{(f \Delta g - g \Delta f)d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{B}^{}{div \; v \, d\mu} [/mm] = [mm] \integral_{ \partial B}^{}{(v \*\vec{n})d\omega} [/mm] = [mm] \integral_{ \partial B}^{}{(f\* \nabla{g}\*\vec{n}-g\* \nabla{f}\*\vec{n})d\omega} [/mm] = [mm] \integral_{ \partial B}^{}{(f * \bruch{ \partial g}{ \partial n} - g * \bruch{ \partial f}{ \partial n})d\omega}
[/mm]
wobei für die 2. Gleichheit der Satz von Gauss und für die letzte die Definition der Normalenableitung benutzt wurde.
THX schon im Voraus für die Mühe
wysi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Di 22.02.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo wysi
Habs zwar auch nicht so mit der Vektoranalysis, aber davon wollen wir uns mal nicht entmutigen lassen ;)
> Lösungsansätze und Fragen
> Idee: div v = [mm]f\Delta{g}-g\Delta{f}[/mm] und dann den Satz von
> Gauss anwenden.
>
> Frage: Wie lässt sich dies nun am besten zeigen?
> Kann man einfach div v = [mm]\nabla{(f\* \nabla{g}-g\* \nabla{f})}[/mm]
> schreiben?
ich glaube, das darf man im Allgemeinen nicht tun, aber da f und g hier Funktionen [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] sind (damit die Normalenableitung definiert ist), darfst du das tun.
> Normalerweise sieht für mich ein Vektorfeld K so aus:
> K = (x,y,z) =
> [mm](a_1\*x^{\alpha_1}+b_1\*y^{\beta_1}+c_1\*z^{\gamma_1},a_2\*x^{\alpha_2}+b_2\*y^{\beta_2}+c_2\*z^{\gamma_2},a_3\*x^{\alpha_3}+b_3\*y^{\beta_3}+c_3\*z^{\gamma_3})
[/mm]
> Wie sieht die analoge Form von v aus?
v = ( [mm] f\bruch{\partial{g}}{\partial{x_{1}}} [/mm] - [mm] g\bruch{\partial{f}}{\partial{x_{1}}},...,f\bruch{\partial{g}}{\partial{x_{n}}} [/mm] - [mm] g\bruch{\partial{f}}{\partial{x_{n}}})
[/mm]
wenn du dir nun f und g als Polynome in [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{n} [/mm] vorstellst, bist du eigentlich wieder bei deiner ursprünglichen Vorstellung des Vektorfeldes.
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