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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei (\Omega, \mathcal{A}, \IP) ein Wahrscheinlichkeitsraum (d.h. \Omega Menge der Ergebnisse, \mathcal{A} Menge der Ereignisse, \IP Wahrscheinlichkeitsverteilung). Man zeige, dass für $A, B, A_{n} \in \mathcal{A}\quad(n\ge 1)$ gilt:
(a) $A\subset B \Rightarrow \IP(A) \le \IP(B)$
(b) $\IP(A\cap B) \ge \IP(A) + \IP(B) - 1$
(c) $\IP\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)\le \sum_{n=1}^{\infty}\IP(A_{n})$ |
Hallo!
Die erste und zweite Aufgabe habe ich geschafft, würde sie aber gern zur Korrektur an euch richten:
(a)
Zunächst gilt wegen $A\subset B$ die Gleichung $A\cap B = A$ und damit auch $\IP(A\cap B) = \IP(A)$ (*).
Es ist $\IP(B) = \IP(B\textbackslash A + A\cap B) \overset{Axiom3Kolmogorov}{=} \IP(B\textbackslash A) + \IP(A\cap B) \overset{(*)}{=} \IP(B\textbackslash A) + \IP(A) \ge \IP(A)$,
da $\IP(B\textbackslash A) \ge 0$, q.e.d.
(Das + zwischen Mengen bezeichnet bei uns in der Vorlesung eine disjunkte Mengenvereinigung, d.h. man darf dann das entsprechende Axiom von Kolmogorov zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von aufsummierten disjunkten Mengen verwenden).
(b)
Es gilt nach Definition von \IP die Ungleichung
$1 \ge \IP(A\cup B)
$ = \IP(A\textbackslash B + A\cap B + B\textbackslash A)$
$ \overset{Axiom3Kolmogorov}{=} \IP(A\textbackslash B) + \IP(A\cap B) + \IP(B\textbackslash A)$
$ = \Big(\IP(A\textbackslash B) + \IP(A\cap B)\Big) + \Big(\IP(B\textbackslash A) + \IP(A\cap B)\Big) - \IP(A\cap B)$
$ = \IP(A) + \IP(B) - \IP(A\cap B)$,
woraus man äquivalent umgeformt erhält:
$\IP(A\cap B) \ge \IP(A) + \IP(B) - 1$, q.e.d.
(c)
Auch wenn das hier eigentlich nicht passt, weil es sich ja nicht um eine Aussage in Abh. von n handelt, wäre trotzdem mein erster Gedanke Induktion (oder zumindest so etwas ähnliches) gewesen, da ich nicht wüsste, wie ich sonst zu der Unendlichkeit vordringen kann. Deswegen beweise ich dir Formel erstmal für n, hier dazu meine Ideen:
IA: Zunächst ist $\IP\left(\bigcup_{n=1}^{2}A_{n}\right) = \IP(A_{1}\cup A_{2}) = \IP(A_{1}) + \IP(A_{2}) - \IP(A_{1}\cap A_{2}) \le \IP(A_{1}) + \IP(A_{2}) = \sum_{n=1}^{2}A_{n}$, da \IP(A_{1}\cap A_{2})\ge 0 ist.
Nun nach demselben Prinzip, x funktioniert, x+1 ist zu zeigen ("Induktionsschritt"):
$\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x+1}A_{n}\right) = \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cup A_{x+1}) = \IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right) + \IP(A_{x+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right)$
$\overset{Vor.}{\le} \sum_{n=1}^{x}\IP(A_{n}) + \IP(A_{x+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) = \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) -\IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) \le \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) $, weil $\IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) \ge 0$ ist.
Nun, da die Formel für beliebige x\in\IN bewiesen ist, leite ich den Grenzprozess ein  :
$\lim_{x\to\infty}\left[\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\right] = \lim_{x\to\infty}\left[\sum_{n=1}^{x}\IP(A_{n})\right]$
$\gdw \IP\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\IP(A_{n})$
Ist das okay, oder geht das so überhaupt nicht? (Darf ich den Limes eigentlich in die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion \IP hineinziehen?)
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm](\Omega, \mathcal{A}, \IP)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum
> (d.h. [mm]\Omega[/mm] Menge der Ergebnisse, [mm]\mathcal{A}[/mm] Menge der
> Ereignisse, [mm]\IP[/mm] Wahrscheinlichkeitsverteilung). Man zeige,
> dass für [mm]A, B, A_{n} \in \mathcal{A}\quad(n\ge 1)[/mm] gilt:
>
> (a) [mm]A\subset B \Rightarrow \IP(A) \le \IP(B)[/mm]
> (b) [mm]\IP(A\cap B) \ge \IP(A) + \IP(B) - 1[/mm]
>
> (c) [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)\le \sum_{n=1}^{\infty}\IP(A_{n})[/mm]
>
> Hallo!
>
> Die erste und zweite Aufgabe habe ich geschafft, würde sie
> aber gern zur Korrektur an euch richten:
>
> (a)
>
> Zunächst gilt wegen [mm]A\subset B[/mm] die Gleichung [mm]A\cap B = A[/mm]
> und damit auch [mm]\IP(A\cap B) = \IP(A)[/mm] (*).
> Es ist [mm]\IP(B) = \IP(B\textbackslash A + A\cap B) \overset{Axiom3Kolmogorov}{=} \IP(B\textbackslash A) + \IP(A\cap B) \overset{(*)}{=} \IP(B\textbackslash A) + \IP(A) \ge \IP(A)[/mm],
> da [mm]\IP(B\textbackslash A) \ge 0[/mm], q.e.d.
> (Das + zwischen Mengen bezeichnet bei uns in der Vorlesung
> eine disjunkte Mengenvereinigung, d.h. man darf dann das
> entsprechende Axiom von Kolmogorov zur Berechnung der
> Wahrscheinlichkeit von aufsummierten disjunkten Mengen
> verwenden).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b)
>
> Es gilt nach Definition von [mm]\IP[/mm] die Ungleichung
>
> $1 [mm]\ge \IP(A\cup[/mm] B)
> [mm]= \IP(A\textbackslash B + A\cap B + B\textbackslash A)[/mm]
>
> [mm]\overset{Axiom3Kolmogorov}{=} \IP(A\textbackslash B) + \IP(A\cap B) + \IP(B\textbackslash A)[/mm]
>
> [mm]= \Big(\IP(A\textbackslash B) + \IP(A\cap B)\Big) + \Big(\IP(B\textbackslash A) + \IP(A\cap B)\Big) - \IP(A\cap B)[/mm]
>
> [mm]= \IP(A) + \IP(B) - \IP(A\cap B)[/mm],
>
> woraus man äquivalent umgeformt erhält:
>
> [mm]\IP(A\cap B) \ge \IP(A) + \IP(B) - 1[/mm], q.e.d.
> (c)
>
> Auch wenn das hier eigentlich nicht passt, weil es sich ja
> nicht um eine Aussage in Abh. von n handelt, wäre trotzdem
> mein erster Gedanke Induktion (oder zumindest so etwas
> ähnliches) gewesen, da ich nicht wüsste, wie ich sonst zu
> der Unendlichkeit vordringen kann. Deswegen beweise ich dir
> Formel erstmal für n, hier dazu meine Ideen:
>
> IA: Zunächst ist [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{2}A_{n}\right) = \IP(A_{1}\cup A_{2}) = \IP(A_{1}) + \IP(A_{2}) - \IP(A_{1}\cap A_{2}) \le \IP(A_{1}) + \IP(A_{2}) = \sum_{n=1}^{2}A_{n}[/mm],
> da [mm]\IP(A_{1}\cap A_{2})\ge[/mm] 0 ist.
>
> Nun nach demselben Prinzip, x funktioniert, x+1 ist zu
> zeigen ("Induktionsschritt"):
>
> [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x+1}A_{n}\right) = \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cup A_{x+1}) = \IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right) + \IP(A_{x+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right)[/mm]
>
> [mm]\overset{Vor.}{\le} \sum_{n=1}^{x}\IP(A_{n}) + \IP(A_{x+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) = \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) -\IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) \le \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) [/mm],
> weil [mm]\IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) \ge 0[/mm]
> ist.
> Nun, da die Formel für beliebige [mm]x\in\IN[/mm] bewiesen ist,
> leite ich den Grenzprozess ein :
>
> [mm]\lim_{x\to\infty}\left[\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\right] = \lim_{x\to\infty}\left[\sum_{n=1}^{x}\IP(A_{n})\right][/mm]
>
> [mm]\gdw \IP\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\IP(A_{n})[/mm]
>
> Ist das okay, oder geht das so überhaupt nicht? (Darf ich
> den Limes eigentlich in die
> Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion [mm]\IP[/mm] hineinziehen?)
Das geht so, falls ihr schon gezeigt habt, dass [mm] $\IP$ [/mm] stetig ist fuer aufsteigende Mengenfolgen. Andernfalls musst du das noch zeigen.
LG Felix
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Hallo Felix,
erstmal wieder vielen Dank für deine Antwort!!!
> > Nun, da die Formel für beliebige [mm]x\in\IN[/mm] bewiesen ist,
> > leite ich den Grenzprozess ein :
> >
> >
> [mm]\lim_{x\to\infty}\left[\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\right] = \lim_{x\to\infty}\left[\sum_{n=1}^{x}\IP(A_{n})\right][/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw \IP\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\IP(A_{n})[/mm]
>
> >
> > Ist das okay, oder geht das so überhaupt nicht? (Darf ich
> > den Limes eigentlich in die
> > Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion [mm]\IP[/mm] hineinziehen?)
>
> Das geht so, falls ihr schon gezeigt habt, dass [mm]\IP[/mm] stetig
> ist fuer aufsteigende Mengenfolgen. Andernfalls musst du
> das noch zeigen.
>
> LG Felix
Wir haben noch so gut wie überhaupt nichts gezeigt, ich kann im Wesentlichen eigentlich nur die anschauliche Logik (d.h. A in [mm] $A\textbackslash [/mm] B$ und [mm] $A\cap [/mm] B$ aufteilen usw. und die Axiome von Kolmogorov verwenden.
Man muss immer erst Stetigkeit zeigen, wenn man den Limes hereinziehen will? (Ich
glaube, ich habe sowas schonmal gehört )
Was genau sind denn aufsteigende Mengenfolgen? So etwas: [mm] (A_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] A_{n}\subset A_{n+1} [/mm] ?
Wir haben so etwas noch nie gemacht (Oh Wunder, wir hatten erst zwei Vorlesungen..., aber ich habe das Skript und da steht in den nächsten vieren auch nichts davon drin.), meinst du, wir sollen das so machen oder gibt es einen anderen Weg?
Danke für Eure Mühe,
Grüße,
Stefan
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Hiho,
wenn du das ohne die Stetigkeit beweisen möchtest, überlege dir folgendes:
Konstruiere dir eine Menge [mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i$ [/mm] mit [mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$ [/mm] und die [mm] E_i [/mm] paarweise disjunkt.
Wie müssen die [mm] E_i [/mm] dann aussehen? Tip: [mm] $E_1 [/mm] = [mm] A_1, E_2 [/mm] = ...$
Dann kannst du auch deine Axiome zur Summenbildung drauf anwendene.
MFG,
Gono.
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Hallo!
> Konstruiere dir eine Menge [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i[/mm] mit
> [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i = \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] und
> die [mm]E_i[/mm] paarweise disjunkt.
>
> Wie müssen die [mm]E_i[/mm] dann aussehen? Tip: [mm]E_1 = A_1, E_2 = ...[/mm]
Danke für deinen Tip Ich probiers mal:
[mm] $E_{1} [/mm] = [mm] A_{1}$
[/mm]
[mm] $E_{2} [/mm] = [mm] A_{2} \textbackslash E_{1}$
[/mm]
[mm] $E_{3} [/mm] = [mm] A_{3} \textbackslash \left(E_{2}\cup E_{1}\right)$
[/mm]
(Das ist zumindest eine Möglichkeit, wie man es machen könnte...), also allgemein:
[mm] $E_{n} [/mm] = [mm] A_{n} \textbackslash \bigcup_{i=1}^{n-1}E_{i}$
[/mm]
bzw.
[mm] $E_{n} [/mm] = [mm] A_{n} \textbackslash \bigcup_{i=1}^{n-1}A_{i}$
[/mm]
[Jetzt müsste ich wahrscheinlich noch einmal genau zeigen, dass [mm] $\bigcup_{k=1}^{n}E_{k} [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}$, [/mm] aber wie mache ich das? Es ist zwar offensichtlich, aber ...]
Dann wäre nämlich
[mm] $\IP\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k}\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\left(E_{k}\right)$
[/mm]
nach dem Kolmogorov-Axiom 3 und weiter
[mm] $\IP\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right) [/mm] = [mm] \IP\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k}\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\left(E_{k}\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\left(A_{k} \textbackslash \bigcup_{i=1}^{k-1}A_{i}\right) [/mm] = ... = [mm] \sum_{k=1}^{\infty}A_{k}$
[/mm]
Bei den Punkten komme ich leider auch nicht weiter, wir haben einfach so wenig "Ausgangsbasis"...
Vielen Dank für erneute Hilfe,
Grüße,
Stefan
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Hiho,
> Danke für deinen Tip Ich probiers mal:
>
> [mm]E_{1} = A_{1}[/mm]
>
> [mm]E_{n} = A_{n} \textbackslash \bigcup_{i=1}^{n-1}A_{i}[/mm]
>
> [Jetzt müsste ich wahrscheinlich noch einmal genau zeigen,
> dass [mm]\bigcup_{k=1}^{n}E_{k} = \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}[/mm], aber
> wie mache ich das? Es ist zwar offensichtlich, aber ...]
Naja, nicht nur offensichtlich, es steht direkt da, wenn man es hinschreibt.
Das ist per Konstruktion der [mm] E_n [/mm] so 
> Bei den Punkten komme ich leider auch nicht weiter, wir
> haben einfach so wenig "Ausgangsbasis"...
Soweit so gut, ich schreibs mal hin:
[mm] $\IP(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}) [/mm] = [mm] \IP(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\IP(E_i) \le \summe_{i=1}^{\infty}\IP(A_i)$
[/mm]
Begründe mir nun mal jedes (Kleiner-)Gleichheitszeichen.
Das kannst du mit deinen Voraussetzungen
MFG,
Gono.
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Hallo und danke für deine Antwort!
> Naja, nicht nur offensichtlich, es steht direkt da, wenn
> man es hinschreibt.
> Das ist per Konstruktion der [mm]E_n[/mm] so
Ok
> [mm]\IP(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}) = \IP(\bigcup_{i=1}^{\infty}E_{i}) = \summe_{i=1}^{\infty}\IP(E_i) \le \summe_{i=1}^{\infty}\IP(A_i)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Begründe mir nun mal jedes (Kleiner-)Gleichheitszeichen.
> Das kannst du mit deinen Voraussetzungen
- Das erste gilt, da ja die E_{n} extra so konstruiert wurden dass $\bigcup E_{n} = \bigcup A_{n}$ ist.
- Das zweite gilt nach dem 3. Axiom von Kolmogorov
- Das dritte Kleinergleichzeichen gilt, weil
$\IP(E_n) = \IP\left(A_{n}\textbackslash\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}\right) \le \IP\left(A_{n}\textbackslash\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}\right) + \IP\left(A_{n}\cap\bigcup_{k=1}^{n-1}A_{k}\right) = \IP\left(A_{n})$
ist.
Wäre das so okay? Reicht also die konkrete Konstruktion von E_{n} und diese Gleichungskette mit Begründungen aus für den Beweis?
Grüße und danke für eure Hilfe!
Stefan
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Hallo!
Danke Felix, für deine Antwort!
> Noch einfacher (spart Schreibarbeit): es gilt nach
> Konstruktion [mm]E_n \subseteq A_n[/mm], und damit (wie du beim
> Induktionsanfang der eigentlichen Aufgabe gezeigt hast)
> [mm]\IP(E_n) \le \IP(A_n)[/mm].
Das verstehe ich . Aber du meinst nicht den Induktionsanfang der eigentlichen Aufgabe, sondern die Aufgabe (a), hoffe ich? Weil Induktion gibt's ja nun nicht mehr, wenn ich es nach dem Vorschlag von Gonozal_IX mache.
Grüße,
Stefan
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Hiho,
wir bearbeiten doch gerade Teil-Aufgabe c).
Felix meinte Teil-Aufgabe a), wo du genau das gezeigt hast, was du nun auch verwenden willst
MFG,
Gono.
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Ok, danke für eure Hilfe
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir haben noch so gut wie überhaupt nichts gezeigt, ich
> kann im Wesentlichen eigentlich nur die anschauliche Logik
> (d.h. A in [mm]A\textbackslash B[/mm] und [mm]A\cap B[/mm] aufteilen usw. und
> die Axiome von Kolmogorov verwenden.
Ok.
> Man muss immer erst Stetigkeit zeigen, wenn man den Limes
> hereinziehen will? (Ich glaube, ich habe sowas schonmal gehört )
Nun, oft bezeichnet man das Reinziehen des Limes als Stetigkeit; auch in diesem Fall.
> Was genau sind denn aufsteigende Mengenfolgen? So etwas:
> [mm](A_{n})_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]A_{n}\subset A_{n+1}[/mm] ?
Genau. Die Stetigkeit hat man beim W'keitmass bei aufsteigenden und absteigenden Mengenfolgen (der "Grenzwert" der Mengenfolge ist dann Vereinigung bzw. Durchschnitt aller Mengen).
LG Felix
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Hallo, danke für deine Antwort !
> Genau. Die Stetigkeit hat man beim W'keitmass bei
> aufsteigenden und absteigenden Mengenfolgen (der
> "Grenzwert" der Mengenfolge ist dann Vereinigung bzw.
> Durchschnitt aller Mengen).
Und wie genau weise ich die Stetigkeit nun nach? Auf unserem Übungsblatt steht noch eine Art Satz (in einer anderen Aufgabe), dass jede Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm] \sigma [/mm] - stetig ist auf [mm] (\omega, \mathcal{P}). [/mm] Hat das was damit zu tun?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > Genau. Die Stetigkeit hat man beim W'keitmass bei
> > aufsteigenden und absteigenden Mengenfolgen (der
> > "Grenzwert" der Mengenfolge ist dann Vereinigung bzw.
> > Durchschnitt aller Mengen).
>
> Und wie genau weise ich die Stetigkeit nun nach? Auf
> unserem Übungsblatt steht noch eine Art Satz (in einer
> anderen Aufgabe), dass jede Wahrscheinlichkeitsverteilung
> [mm]\sigma[/mm] - stetig ist auf [mm](\omega, \mathcal{P}).[/mm] Hat das was
> damit zu tun?
Wenn [mm] $\sigma$-Stetigkeit [/mm] das gleiche bedeutet wie hier, dann ist es doch genau das was ich beschrieben hab: du hast eine aufsteigende Mengenfolge und hast dann [mm] $\IP(\bigcup A_n) [/mm] = [mm] \lim \IP(A_n)$.
[/mm]
Wie man das zeigt hast du doch schon in der Aufgabe aus dem Link gefragt.
LG Felix
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Hallo!
Danke Felix, für deine Antwort. Ich habe nun auch verstanden, wieso das mit dem Limes-Reinziehen nicht selbstverständlich ist
Aber wenn ich mich kürzer fassen möchte ist der Weg von Gonozal_IX auch legitim, oder?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke Felix, für deine Antwort. Ich habe nun auch
> verstanden, wieso das mit dem Limes-Reinziehen nicht
> selbstverständlich ist
> Aber wenn ich mich kürzer fassen möchte ist der Weg von
> Gonozal_IX auch legitim, oder?
Ja.
LG Felix
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Ok, vielen Dank, Felix, für deine Hilfe bei diesen Aufgaben!!!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:57 Fr 16.10.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo,
ich habe zu dem Beweis eine kleine Frage
> Sei [mm](\Omega, \mathcal{A}, \IP)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum
> (d.h. [mm]\Omega[/mm] Menge der Ergebnisse, [mm]\mathcal{A}[/mm] Menge der
> Ereignisse, [mm]\IP[/mm] Wahrscheinlichkeitsverteilung). Man zeige,
> dass für [mm]A, B, A_{n} \in \mathcal{A}\quad(n\ge 1)[/mm] gilt:
>
> (a) [mm]A\subset B \Rightarrow \IP(A) \le \IP(B)[/mm]
> (b) [mm]\IP(A\cap B) \ge \IP(A) + \IP(B) - 1[/mm]
>
> (c) [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)\le \sum_{n=1}^{\infty}\IP(A_{n})[/mm]
>
> Hallo!
>
> Die erste und zweite Aufgabe habe ich geschafft, würde sie
> aber gern zur Korrektur an euch richten:
>
> (a)
>
> Zunächst gilt wegen [mm]A\subset B[/mm] die Gleichung [mm]A\cap B = A[/mm]
> und damit auch [mm]\IP(A\cap B) = \IP(A)[/mm] (*).
> Es ist [mm]\IP(B) = \IP(B\textbackslash A + A\cap B) \overset{Axiom3Kolmogorov}{=} \IP(B\textbackslash A) + \IP(A\cap B) \overset{(*)}{=} \IP(B\textbackslash A) + \IP(A) \ge \IP(A)[/mm],
>
> da [mm]\IP(B\textbackslash A) \ge 0[/mm], q.e.d.
> (Das + zwischen Mengen bezeichnet bei uns in der Vorlesung
> eine disjunkte Mengenvereinigung, d.h. man darf dann das
> entsprechende Axiom von Kolmogorov zur Berechnung der
> Wahrscheinlichkeit von aufsummierten disjunkten Mengen
> verwenden).
>
> (b)
>
> Es gilt nach Definition von [mm]\IP[/mm] die Ungleichung
>
> $1 [mm]\ge \IP(A\cup[/mm] B)
> [mm]= \IP(A\textbackslash B + A\cap B + B\textbackslash A)[/mm]
>
> [mm]\overset{Axiom3Kolmogorov}{=} \IP(A\textbackslash B) + \IP(A\cap B) + \IP(B\textbackslash A)[/mm]
>
> [mm]= \Big(\IP(A\textbackslash B) + \IP(A\cap B)\Big) + \Big(\IP(B\textbackslash A) + \IP(A\cap B)\Big) - \IP(A\cap B)[/mm]
>
> [mm]= \IP(A) + \IP(B) - \IP(A\cap B)[/mm],
>
> woraus man äquivalent umgeformt erhält:
>
> [mm]\IP(A\cap B) \ge \IP(A) + \IP(B) - 1[/mm], q.e.d.
>
> (c)
>
> Auch wenn das hier eigentlich nicht passt, weil es sich ja
> nicht um eine Aussage in Abh. von n handelt, wäre trotzdem
> mein erster Gedanke Induktion (oder zumindest so etwas
> ähnliches) gewesen, da ich nicht wüsste, wie ich sonst zu
> der Unendlichkeit vordringen kann. Deswegen beweise ich dir
> Formel erstmal für n, hier dazu meine Ideen:
>
> IA: Zunächst ist [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{2}A_{n}\right) = \IP(A_{1}\cup A_{2}) = \IP(A_{1}) + \IP(A_{2}) - \IP(A_{1}\cap A_{2}) \le \IP(A_{1}) + \IP(A_{2}) = \sum_{n=1}^{2}A_{n}[/mm],
> da [mm]\IP(A_{1}\cap A_{2})\ge[/mm] 0 ist.
>
> Nun nach demselben Prinzip, x funktioniert, x+1 ist zu
> zeigen ("Induktionsschritt"):
>
> [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x+1}A_{n}\right) = \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cup A_{x+1}) = \IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right) + \IP(A_{x+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right)[/mm]
>
> [mm]\red{\overset{Vor.}{\le}} \sum_{n=1}^{x}\IP(A_{n}) + \IP(A_{x+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) = \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) -\IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) \le \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) [/mm],
Warum steht hier ein [mm] \le [/mm] und nicht ein "=" ?
Viele Grüße
Smarty
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Hiho
> > [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x+1}A_{n}\right) = \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cup A_{x+1}) = \IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right) + \IP(A_{x+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]\red{\overset{Vor.}{\le}} = \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) -\IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) \le \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) [/mm],
>
> Warum steht hier ein [mm]\le[/mm] und nicht ein "=" ?
>
>
> Viele Grüße
> Smarty
da die [mm] A_n [/mm] nicht notwendigerweise disjunkt sein müssen, gilt:
[mm] $\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right) \le \sum_{n=1}^{x}\IP(A_{n})$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Fr 16.10.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Gonozal,
> Hiho
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> > > [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x+1}A_{n}\right) = \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cup A_{x+1}) = \IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right) + \IP(A_{x+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right)[/mm]
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> > >
> > > [mm]\red{\overset{Vor.}{\le}} = \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) -\IP\left(\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right)\cap A_{x+1}\right) \le \sum_{n=1}^{x+1}\IP(A_{n}) [/mm],
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> > Warum steht hier ein [mm]\le[/mm] und nicht ein "=" ?
> >
> >
> > Viele Grüße
> > Smarty
>
> da die [mm]A_n[/mm] nicht notwendigerweise disjunkt sein müssen,
> gilt:
>
> [mm]\IP\left(\bigcup_{n=1}^{x}A_{n}\right) \le \sum_{n=1}^{x}\IP(A_{n})[/mm]
ooohhh kkkeeeyyy
thx
Smarty
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