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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Beweis Eigenvektoren lin.unabh
Beweis Eigenvektoren lin.unabh < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Eigenvektoren lin.unabh: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:38 Sa 27.12.2008
Autor: excillo

Aufgabe
Seien [mm] \alpha, \beta [/mm] zwei verschiedene Eigenwerte der linearen Abbildung T: U [mm] \to [/mm] U mit den zugehörigen Eigenvektoren u1 und u2. Zeigen sie, dass u1 und u2 linear unabhängig sind.

Also ich habe mal ein bisschen rumprobiert, aber ich bin mir nicht sicher ob man das so stehen lassen könnte, daher hoffe ich dass ihr mir ein bisschen Hilfestellung geben könnt bzw mal einen Asatz liefern könnt, denn in meinem Vorlesungsskriot befindet sich der Beweis mittels vollständiger Induktion und das erscheint mir etwas zu kompliziert für diesen Fall-...?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Beweis Eigenvektoren lin.unabh: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Sa 27.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Seien [mm]\alpha, \beta[/mm] zwei verschiedene Eigenwerte der
> linearen Abbildung T: U [mm]\to[/mm] U mit den zugehörigen
> Eigenvektoren u1 und u2. Zeigen sie, dass u1 und u2 linear
> unabhängig sind.
>  Also ich habe mal ein bisschen rumprobiert, aber ich bin
> mir nicht sicher ob man das so stehen lassen könnte,

Hallo,

[willkommenmr].

Hier im Forum interessieren wir uns brennend für das, was Du rumprobiert hast.

Nicht zuletzt sehen wir daran, wo wir helfen können.

Also zeig'  mal, wie weit Du gekommen bist. Du darfst ruhig Fehler machen - das Schlimmste, was passiert, ist ein "um Himmelswillen!" an den Tagen, an welchem einem willigen Helfer die Gelassenheit fehlt. (Das ist natürlich nur selten der Fall.)

Gruß v. Angela


daher

> hoffe ich dass ihr mir ein bisschen Hilfestellung geben
> könnt bzw mal einen Asatz liefern könnt, denn in meinem
> Vorlesungsskriot befindet sich der Beweis mittels
> vollständiger Induktion und das erscheint mir etwas zu
> kompliziert für diesen Fall-...?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Bezug
                
Bezug
Beweis Eigenvektoren lin.unabh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Sa 27.12.2008
Autor: excillo

Also A steht dann jetzt für eine bel.Matrix, sodass für die Eigenvektoren gilt: [mm] (A-\alpha) [/mm] * u1 = 0(vektor) bzw [mm] (A-\beta) [/mm] *u2 = 0

Ich habe dann einfach mal angenommen es sei [mm] \gamma1 [/mm] *u1 + [mm] \gamma [/mm] 2 *u2 =0
[mm] (A-\alpha)*(\gamma1*u1+\gamma2*u2) [/mm]
= [mm] \gamma1 [/mm] * [mm] (A-\alpha)*u1 [/mm] + [mm] \gamma2*(A-\alpha)*u2=... [/mm]

das hab ich dann solange umgeformt bis da stand

[mm] \gamma2 *(\beta [/mm] - [mm] \alpha)* [/mm] u2 = 0

und aus der annahme folgt dann  [mm] \gamma2 *(\alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm] * u1 = 0 und damit [mm] \gamma2 [/mm] =0
und daraus [mm] \gamma1 [/mm] gleich null


Hoffe ihr könnt mir sagen ob wenigstens der Ansatz richtig ist...

Bezug
                        
Bezug
Beweis Eigenvektoren lin.unabh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:56 So 28.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Also A steht dann jetzt für eine bel.Matrix, sodass für die
> Eigenvektoren gilt: [mm](A-\alpha\red{E})[/mm] * u1 = 0(vektor) bzw
> [mm](A-\beta\red{E})[/mm] *u2 = 0
>  
> Ich habe dann einfach mal angenommen es sei [mm]\gamma1[/mm] *u1 +
> [mm]\gamma[/mm] 2 *u2 =0
>  [mm](A-\alpha\red{E})*(\gamma1*u1+\gamma2*u2)[/mm]
>  = [mm]\gamma1[/mm] * [mm](A-\alpha\red{E})*u1[/mm] + [mm]\gamma2*(A-\alpha\red{E})*u2=...[/mm]
>  
> das hab ich dann solange umgeformt bis da stand
>  
> [mm]\gamma2 *(\beta[/mm] - [mm]\alpha)*[/mm] u2 = 0
>  
> und aus der annahme folgt dann  [mm]\gamma2 *(\alpha[/mm] - [mm]\beta)[/mm] *
> u1 = 0 und damit [mm]\gamma2[/mm] =0
>  und daraus [mm]\gamma1[/mm] gleich null

Hallo,

ja, so kannst Du es machen, es ist völlig richtig. Du mußt dann am Ende verwenden (und erwähnen!), daß die [mm] u_i\not=0, [/mm] und daß nach Voraussetzung [mm] \alpha\not=\beta. [/mm]

Gruß v. Angela



Bezug
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