Beweis Distributivgesetz Index < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien I [mm] \not= \emptyset [/mm] eine beliebige nichtleere Indexmenge sowie A und [mm] B_{i} [/mm] Mengen, i [mm] \in [/mm] I.
Beweisen Sie die Distributivgesetze:
a) [mm] A\cap(\bigcup_{i \in I} B_{i})= \bigcup_{i \in I} (A\cap B_{i})
[/mm]
b) [mm] A\cup(\bigcap_{i \in I} B_{i})= \bigcap_{i \in I} (A\cup B_{i}) [/mm] |
Guten Abend.
Zur obigen Aufgabe lautet mein Ansatz wie folgt:
a)
[mm] x\in (A\cap (\bigcup_{i \in I} B_{i})) \Rightarrow x\in A\wedge x\in \{x | \exists i \in I : x \in B_{i}\} \Rightarrow x\in\{x | x\in A\wedge i\in I: x\in B_{i}\} \Rightarrow x\in A\wedge x\in B_{i} \Rightarrow x\in (A\cap B_{i}) \subset \bigcup_{i \in I} (A\cap B_{i})
[/mm]
[mm] x\in\bigcup_{i \in I} (A\cap B_{i}) \Rightarrow x\in \{x| \exists i \in I: x\in (A\cap B_{i})\} \Rightarrow x\in\{x| \exists i\in I : x \in B_{i} \wedge x \in A\}\Rightarrow x\in A\wedge x\in\{x|\exists i \in I: x\in B_{i}\} \Rightarrow x\in A\cap(\bigcup_{i\in I} B_{i}) \subset x\in A\cap(\bigcup_{i\in I} B_{i}
[/mm]
Den Schluss finde ich überflüssig. Ich könnte doch folgendermaßen vorgehen:
[mm] 1.x\in (A\cap (\bigcup_{i \in I} B_{i})) \Rightarrow x\in A\wedge x\in \{x | \exists i \in I : x \in B_{i}\} \Rightarrow x\in\{x | x\in A\wedge i\in I: x\in B_{i}\} [/mm]
[mm] 2.x\in\bigcup_{i \in I} (A\cap B_{i}) \Rightarrow x\in \{x| \exists i \in I: x\in (A\cap B_{i})\} \Rightarrow x\in\{x| \exists i\in I : x \in B_{i} \wedge x \in A\}
[/mm]
Man sieht die Gleichheit der Menge, also müssen die Ausgangsmengen auch gleich sein.
Ist das so i.O?
Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 18.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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