Beweis Differentialgleichung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Olga1234 |
| Aufgabe | Sei y: D [mm] \to \IR [/mm] mit D [mm] \subset \IR [/mm] eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit y(x) [mm] \not= [/mm] +/- 1für alle x [mm] \in [/mm] D. Ferner gebüge y der Differentialgleichung [mm] (1-y(x)^{2}) [/mm] y''(x) = (1- [mm] y'(x)^{2}) [/mm] y(x), für alle x [mm] \in [/mm] D.
a) Zeigen Sie für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 mit vollständiger Induktion, dass die Ableitung
[mm] y^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} y^{(n-2)} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D |
Diese Aufgabe bereitet mir große Probleme.
Ich weiß schon beim Indunktionsanfang nicht weiter.
Induktionsanfang:
Sei n = 2.
y''(x) = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} y^{(0)}(x)
[/mm]
= [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} [/mm] y(x)
Wie komme ich da weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei y: D [mm]\to \IR[/mm] mit D [mm]\subset \IR[/mm] eine beliebig oft
> differenzierbare Funktion mit y(x) [mm]\not=[/mm] +/- 1für alle x
> [mm]\in[/mm] D. Ferner gebüge y der Differentialgleichung
> [mm](1-y(x)^{2})[/mm] y''(x) = (1- [mm]y'(x)^{2})[/mm] y(x), für alle x [mm]\in[/mm]
> D.
>
> a) Zeigen Sie für alle n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2 mit
> vollständiger Induktion, dass die Ableitung
>
> [mm]y^{(n)}(x)[/mm] = [mm]\bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} y^{(n-2)}[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] D
> Diese Aufgabe bereitet mir große Probleme.
>
> Ich weiß schon beim Indunktionsanfang nicht weiter.
>
> Induktionsanfang:
> Sei n = 2.
> y''(x) = [mm]\bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} y^{(0)}(x)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)}[/mm] y(x)
> Wie komme ich da weiter?
Das ist die Voraussetzung: $ [mm] (1-y(x)^{2}) [/mm] $ y''(x) = (1- $ [mm] y'(x)^{2}) [/mm] $ y(x)
Dividiere durch [mm] 1-y(x)^{2} [/mm] und schwupp hast Du den gewünschten Induktionsanfang
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Olga1234 |
und beim induktionsschritt von n nach n+1:
[mm] y^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} y^{(n-1)}(x)
[/mm]
wie komme ich da weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Induktionsvor. : sei n [mm] \ge [/mm] 2 und
$ [mm] y^{(n)}(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} y^{(n-2)} [/mm] $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ D
zeige nun:
$ [mm] y^{(n+1)}(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} y^{(n-1)} [/mm] $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ D
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Olga1234 |
Mach ich das, indem ich sage:
[mm] y^{(n+1)}(x) [/mm] = [mm] (y^{(n)}(x))' [/mm] = [mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y^{2}(x)} y^{(n-2)})'
[/mm]
?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Lentio |
Hallo.
schlage mich gerade selber mit dieser aufgabe rum und hätte diesbezüglich ein paar Fragen. 1.Warum kann man so den Induktionsanfang machen? Es wird doch nach der Bestätigung einer Ableitung gefragt, müsste man nicht die Ableitung der Funktion machen und dann Umformen? 2. Warum gilt die Aussage $ [mm] y^{(n+1)}(x) [/mm] $= $ [mm] (y^{(n)}(x))' [/mm] $? symbolisiert das hoch n den Grad der Ableitung und nicht das der Potenz, sprich y'' und nicht [mm] y^{2}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mi 30.06.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Lentio,
> Hallo.
> schlage mich gerade selber mit dieser aufgabe rum und
> hätte diesbezüglich ein paar Fragen. 1.Warum kann man so
> den Induktionsanfang machen? Es wird doch nach der
> Bestätigung einer Ableitung gefragt, müsste man nicht die
> Ableitung der Funktion machen und dann Umformen?
Die beliebig oft stetige Differenzierbarkeit der Funktion y wird in der Aufgabe vorausgesetzt. Die 2. Ableitung von y steckt in der angegebenen Dgl. und nach ihr kann wegen einer weiteren Voraussetzung umgeformt werden.
>2. Warum
> gilt die Aussage [mm]y^{(n+1)}(x) [/mm]= [mm] (y^{(n)}(x))' [/mm]?
> symbolisiert das hoch n den Grad der Ableitung und nicht
> das der Potenz, sprich y'' und nicht [mm]y^{2}?[/mm]
Ja, genau. Die Klammer macht den Unterschied:
[mm]y^{n}[/mm] n-te Potenz
[mm]y^{(n)}[/mm] n-te Ableitung
Gruß meili
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