Beweis Cauchy Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f sei eine gleichmäßig stetige Abbildung eines metrischen Raumes X in einem einen metrischen Raum Y.
Man beweise, dass für jede Cauchy Folge [mm] {x_n} [/mm] in X die Folge [mm] {f(x_n)} [/mm] eine Cauchyfolge in Y ist. |
Ich kommr bei dieser Aufgabe gar nicht klar. Ich brauche hier Schritt für Schritt eure Hilfe. Bin echt nahe am Verzweifeln, noch datu, weil die Aufgabe sehr ausführlich bewiesen werden soll.
Wie gehe ich an die Aufgabe ran?
Da ich wieder längere Zeit krank war, fehlt mir einiges an Vorwissen :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
du musst (mit der Definition) nachweisen, dass die [mm] y_n [/mm] = [mm] f(x_n) [/mm] eine Cauchy-Folge bilden, also Folgenglieder mit hinreichend großen Indizes beliebig nahe beieinander liegen. (Für dieses "hinreichend" ist eine Zahl anzugeben, wenn das "beliebig" vorgegeben wird.)
Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit (wieso "gleichmäßig" ? Definition anwenden!) von f tun die y's das, wenn nur die x's nahe beieinander sind, was aber aus der Voraussetzung gefolgert werden kann.
(Ich weiß, dass man den Plural ohne Apostroph schreibt, sieht aber so besser aus.)
Gruß Sax.
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Danke für deine Antwort Sax, aber ich verstehe es immer noch nicht. Ich kenne die Definitionen, aber kriege keinen Beweis zusammen :( :(
gleichmäßig stetig bedeutet, das die Stetigkeit von der Stelle [mm] x_0 [/mm] noch zusaätzlich abhängig ist.
Vielleicht habe ich das auch mit der Cauchy Foge noch nicht ganz verstanden...ich komm jedenfalls nicht klar!.
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Hiho,
> gleichmäßig stetig bedeutet, das die Stetigkeit von der
> Stelle [mm]x_0[/mm] noch zusaätzlich abhängig ist.
Nein, das bedeutet es eben gerade nicht.
Gleichmäßig Stetig bedeutet, dass die Wahl von [mm] \delta [/mm] NICHT von der Stelle [mm] x_0 [/mm] abhängt, sondern NUR von [mm] \varepsilon.
[/mm]
> Vielleicht habe ich das auch mit der Cauchy Foge noch nicht
> ganz verstanden...ich komm jedenfalls nicht klar!.
Der Tip war doch: Schreib doch mal die Definition hin!
Was müsste denn gelten, damit die [mm] $f(x_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge bilden?
Schreib das mal hin, dann sieht das schon fast aus wie ein Teil der Stetigkeitsdefinition (oh Wunder)...
Gilt das, unter der Voraussetzung, dass die [mm] x_n [/mm] eine Cauchy-Folge bilden?
Auch hier: Schreibe hin, was es heisst, dass die [mm] x_n [/mm] eine Cauchy-Folge bilden. Das sieht dann auch fast aus wie der andere Teil der Stetigkeitsdefinition (oh Wunder).
Die Aufgabe ist wirklich reines Hinschreiben der Definitionen, aber den Tip mit dem Aufschreiben hast du bisher leider gekonnt ignoriert.
MFG,
Gono.
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okay...dann versuche ich es mal so...ich habe mir die Definition der Cauchyfolge angeschaut, aber es nicht verstanden.
[mm] x_n [/mm] ist eine Cauchyfolge, wenn zu jedem reellen [mm] \epsilon [/mm] >0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen m,n > N gilt: [mm] d(x_m,x_n)< \epsilon
[/mm]
und [mm] f(x_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge, hmm....dazu kenne ich leider keine Definition... ich muss warscheinlich nochmal ganz von Beginn an lernen :(
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Hiho,
> okay...dann versuche ich es mal so...ich habe mir die
> Definition der Cauchyfolge angeschaut, aber es nicht
> verstanden.
ok
>
> [mm]x_n[/mm] ist eine Cauchyfolge, wenn zu jedem reellen [mm]\epsilon[/mm]
> >0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle
> natürlichen Zahlen m,n > N gilt: [mm]d(x_m,x_n)< \epsilon[/mm]
Korrekt, was heisst das anschaulich?
> und [mm]f(x_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge, hmm....dazu kenne ich
> leider keine Definition... ich muss warscheinlich nochmal
> ganz von Beginn an lernen :(
Wieso, oben ist doch die ALLGEMEINE Definition für eine Cauchy-Folge, nur dass deine Folge nun nicht [mm] x_n [/mm] sondern [mm] f(x_n) [/mm] ist.
Da ändert sich nicht viel an der Definition.
Setz oben in der Definition für die Cauchy-Folge für [mm] x_n [/mm] mal einfach überall [mm] f(x_n) [/mm] ein.
So.... das war aber nur die Hälfte der notwendigen Definitionen. Wo ist die für die gleichmäßige Stetigkeit?
MFG,
Gono.
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[mm] x_n [/mm] ist eine Cauchyfolge, wenn zu jedem reellen [mm] \epsilon [/mm] >0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen m,n > N gilt: [mm] d(x_m,x_n)<\epsilon
[/mm]
Korrekt, was heisst das anschaulich?
das heißt so viel wie, das die Differenz der natürlichen Zahlen kleiner ist als [mm] \epsilon.
[/mm]
[mm] f(x_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge, wenn zu jedem reellen [mm] \epsilon [/mm] >0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen m,n > N gilt: [mm] d(f(x_m),f(x_n))<\epsilon
[/mm]
gleimäßige Stätigkeit heißt für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] x,x_0 \in [/mm] X wofür gilt: [mm] d_x (x,x_0)
aber wie soll ich daraus einen guten Beweis kriegen?
Den Punkten zufolge muss der Beweis sehr ausführlich sein....
danke übrigens für deine gute und geduldige Hilfe!
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Hiho,
> das heißt so viel wie, das die Differenz der natürlichen
> Zahlen kleiner ist als [mm]\epsilon.[/mm]
Wieso der natürlichen Zahlen? Die [mm] x_n [/mm] müssen doch keine natürlichen Zahlen sein. Differenz ist auch falsch, denn [mm] $d(x_n,x_m)$ [/mm] bezeichnet nicht notwendigerweise eine Differenz, sondern?
> [mm]f(x_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge, wenn zu jedem reellen [mm]\epsilon[/mm]
> >0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle
> natürlichen Zahlen m,n > N gilt:
> [mm]d(f(x_m),f(x_n))<\epsilon[/mm]
Korrekt 
> gleimäßige Stätigkeit heißt für alle [mm]\epsilon[/mm] >0
> existiert ein [mm]x,x_0 \in[/mm] X wofür gilt: [mm]d_x (x,x_0)
Nein, die Definition schlägst du am besten nochmal nach.
MFG,
Gono.
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gleichmäßige Stetigkeit heißt, es gibt zu jedem [mm] x_0\in [/mm] X und zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta (x_0,\epsilon)>0, [/mm] so dass für jedes [mm] x\in [/mm] X mit [mm] d(x,x_0) <\delta [/mm] die Abschätzung [mm] d(f(x_0), [/mm] f(x)) [mm] <\epsilon [/mm] gilt.
so...jetzt müsste die Definition stimmen....also ist d die Abschätzung und icht Abstand. Aber was genau versteht man unter Abschätzung?
Und wie kriege ich meinen Beweis damit hin? Trotz Definition weiß ich nicht genau, wie man das nun direkt beweisen soll.
MfG
Mathegirl
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> gleichmäßige Stetigkeit heißt, es gibt zu jedem [mm]x_0\in[/mm] X
> und zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]\delta (x_0,\epsilon)>0,[/mm] so
> dass für jedes [mm]x\in[/mm] X mit [mm]d(x,x_0) <\delta[/mm] die
> Abschätzung [mm]d(f(x_0),[/mm] f(x)) [mm]<\epsilon[/mm] gilt.
So, das ist die Definition der Stetigkeit, für gleichmäßige Stetigkeit musst du noch etwas anpassen, was?
Was ist denn der Unterschied zwischen der normalen Stetigkeit und der gleichmäßigen Stetigkeit?
> so...jetzt müsste die Definition stimmen....also ist d die
> Abschätzung und icht Abstand.
Nein, d ist der Abstand. Mit Abschätzung meinen die einfach eine Ungleichung à la $a < b$, dann schätze ich a durch b ab.... in dem Fall der Definition halt [mm] $d(f(x_0),f(x)) [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Worauf ich hinauswollte ist, d ist nicht die Differenz, sondern der Abstand!
> Und wie kriege ich meinen Beweis damit hin? Trotz
> Definition weiß ich nicht genau, wie man das nun direkt
> beweisen soll.
Ja, wenn du nun noch die Definition für Gleichmäßige Stetigkeit findest, können wir anfangen die Verschiedenen Definitionen zusammenzuschreiben zu einem Beweis
MFG,
Gono.
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hmm, da war das wohl ehr ein Schreibfehler...ich meinte ja Abstand und nicht Differenz :)
okay, also noch einmal eine neuer Versuch die gleichmäßige Stetigkeit zu definieren! Bis zur Klausur werd ich es wohl sicher lernen :)
gleichmäßige Stetigkeit:
Für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] \delta [/mm] >0. Weiterhin gilt für alle x, [mm] x_0\in [/mm] D: [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] woraus folgt, dass [mm] |f(x)-f(x_0)| <\epsilon
[/mm]
So, jetzt müsste es aber stimmen, so steht es zumindest im Buch, nur halt nicht so ausformuliert :)
Grüße
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> hmm, da war das wohl ehr ein Schreibfehler...ich meinte ja
> Abstand und nicht Differenz :)
>
> okay, also noch einmal eine neuer Versuch die
> gleichmäßige Stetigkeit zu definieren! Bis zur Klausur
> werd ich es wohl sicher lernen :)
>
> gleichmäßige Stetigkeit:
> Für alle [mm]\epsilon[/mm] >0 existiert ein [mm]\delta[/mm] >0. Weiterhin
> gilt für alle x, [mm]x_0\in[/mm] D: [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] woraus folgt,
> dass [mm]|f(x)-f(x_0)| <\epsilon[/mm]
Na ja, so ganz stimmts nicht, aber vielleicht meinst Du das Richtige.
Also:
Für alle [mm]\epsilon[/mm] >0 existiert ein [mm]\delta[/mm] >0 mit :
[mm]|f(x)-f(x_0)| <\epsilon[/mm] für alle x, [mm] x_0 \in [/mm] D für die [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] ist.
FRED
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> So, jetzt müsste es aber stimmen, so steht es zumindest im
> Buch, nur halt nicht so ausformuliert :)
>
> Grüße
> Mathegirl
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okay...
Also die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit nun nochmal:
[mm] \forall\epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x_1,x_2 \in [/mm] X
[mm] d_x(x_1,x_2)< \delta \Rightarrow d_y(f(x_1),f(x_2))< \epsilon
[/mm]
So...und jetzt setze ich einfach die Folgenglieder [mm] x_m [/mm] und [mm] x_n [/mm] ein:
[mm] \forall\epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x_m,x_n \in [/mm] X
[mm] d_x(x_m,x_n)< \delta \Rightarrow d_y(f(x_m),f(x_n))< \epsilon
[/mm]
So...ich denke, das ist schonmal ein Teil des Beweises, aber reicht das denn aus?
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> okay...
>
> Also die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit nun
> nochmal:
>
> [mm]\forall\epsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 [mm]\forall x_1,x_2 \in[/mm] X
> [mm]d_x(x_1,x_2)< \delta \Rightarrow d_y(f(x_1),f(x_2))< \epsilon[/mm]
>
> So...und jetzt setze ich einfach die Folgenglieder [mm]x_m[/mm] und
> [mm]x_n[/mm] ein:
>
> [mm]\forall\epsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 [mm]\forall x_m,x_n \in[/mm] X
> [mm]d_x(x_m,x_n)< \delta \Rightarrow d_y(f(x_m),f(x_n))< \epsilon[/mm]
>
>
> So...ich denke, das ist schonmal ein Teil des Beweises,
> aber reicht das denn aus?
Mensch mensch, das wird doch so langsam.
Natürlich reicht das noch nicht aus, denn:
Überlege dir mal, was du überhaupt zeigen willst?
Was willst du denn zeigen? (Definition Cauchy-Folge verwenden!)
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Dann dürfte noch fehlen, dass ich zeigen muss, dass [mm] f(x_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Also [mm] f(x_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge, wenn es zu jedem reellen [mm] \epsilon>0 [/mm] eine natürliche Zahl N gibt und für alle natürlichen Zahlen m,n>N gilt
[mm] d(f(x_m),f(x_n))< \epsilon
[/mm]
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> Dann dürfte noch fehlen, dass ich zeigen muss, dass [mm]f(x_n)[/mm]
> eine Cauchyfolge ist.
>
> Also [mm]f(x_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge, wenn es zu jedem reellen
> [mm]\epsilon>0[/mm] eine natürliche Zahl N gibt und für alle
> natürlichen Zahlen m,n>N gilt
> [mm]d(f(x_m),f(x_n))< \epsilon[/mm]
Korrekt
So, du musst also nun einen Weg angeben, wie das geht.
Ich gebe dir nun mal ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und du versuchst mir mal zu erklären, warum es dann ein N gibt, so dass für alle $m,n > N$ die Ungleichung [mm] $d(f(x_m),f(x_n))< \epsilon$ [/mm] gilt.
Beachte dabei:
1. f ist gleichmäßig stetig
2. die [mm] x_n [/mm] bilden eine Cauchy-Folge
MFG,
Gono.
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was genau soll ich zeigen? Ich also erklären kann ich das auf Anhieb nicht. An einem Beispiel würde ich es zeigen können, aber warum das so ist, das weiß ich leider nicht.
Gruß
Mathegirl
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Hm, ok:
Du sollst also zeigen dass für alle [mm] \varepsilon [/mm] so ein N existiert, so dass für $n,m > N$ die Ungleichung [mm] $d(f(x_m),f(x_n)) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt
ww. weiterhin, dass es ein [mm] \delta [/mm] gibt, so dass:
[mm] $d(x_m,x_n) [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow d(f(x_m),f(x_m)) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] (warum?)
D.h. wenn wir zeigen würden, dass es für alle [mm] \delta [/mm] so ein N geben würde, dass [mm] $d(x_m,x_n) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gelten würde, wären wir fertig (klar?)
Warum gibt es denn nun so ein N, dass das gilt?
MFG,
Gono.
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So ein N muss es geben, damit eine Abschätzung zu [mm] \epsilon [/mm] überhaupt möglich ist. ich weiß nicht wie ich das ausdrücken soll....gäbe es das N nicht, dann würde die Behauptung nicht gelten...
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> So ein N muss es geben, damit eine Abschätzung zu [mm]\epsilon[/mm]
> überhaupt möglich ist. ich weiß nicht wie ich das
> ausdrücken soll....gäbe es das N nicht, dann würde die
> Behauptung nicht gelten...
Nein..... die [mm] x_m, x_n [/mm] müssen ja nie beliebig nah aneinanderranlaufen, tun sie aber, warum?
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damit der Abstand < [mm] \epsilon [/mm] ist ?????
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Nein,
deswegen SOLLEN sie es tun, tun sie es aber auch?
Schau dir mal die Voraussetzungen der Aufgabe nochmal an!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Do 14.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
demnach also nicht...ich verstehe trotzdem nicht so richtig, wie das gemeint ist....lese mir das nochmal in Ruhe durch, vielleicht verstehe ich es dann...hmm...echt kompliziert mit mir :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Den Punkten zufolge muss der Beweis sehr ausführlich sein....
Das muss nicht unbedingt sein, wenn du es geschickt anstellst ist es ein 5 Zeiler.
Aber zur Aufgabe :
Die Cauchy Folge hast du ja schon richtig definiert :
$ [mm] x_n [/mm] $ ist eine Cauchyfolge, wenn zu jedem reellen $ [mm] \epsilon [/mm] $ >0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen m,n > N gilt:
$ [mm] d(x_m,x_n)< \epsilon [/mm] $
Wenn du nun z.B aus unserer Vorlesung vom 15.12 die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit nimmst, die wäre :
f:X [mm] \to [/mm] Y heisst gleichmäßig stetig falls folgendes gilt :
[mm] \forall\varepsilon>0\;\;\exists\delta>0\;\;\forall x_{1},x_{2}\in [/mm] X:
[mm] d_{x}(x_{1},x_{2})<\delta\Rightarrow d_{y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon
[/mm]
Nun setzt du einfach deine beiden Folgenglieder [mm] x_m,x_n [/mm] in die Definition ein und das was du aus der Definition der Stetigkeit herausbekommst, ist eine Cauchyfolge.
$ [mm] f(x_n) [/mm] $ ist eine Cauchyfolge, wenn zu jedem reellen $ [mm] \epsilon [/mm] $ >0 eine natürliche Zahl N existiert, so dass für alle natürlichen Zahlen m,n > N gilt: $ [mm] d(f(x_m),f(x_n))<\epsilon [/mm] $
Nämlich genau das was hier steht und somit ist es gezeigt, nunja nicht ganz du solltest vielleicht noch kurz ein zwei Sätze dazu schreiben und deine Rechnung begründen.
Der Knackpunkt ist, der Beweis ist wirklich nichts als hinschreiben und einmal kurz staunen, dass Analysis auch mal simpel sein kann.
( Ich denke auch mal in dem Beweis geht es eher darum einfach nur simples Anwenden und das Begründen mit und von Definitionen zu erlernen )
Ich poste das ganze mal eher als Mitteilung, denn es ist eher eine Hilfestellung zur Lösung deines Beweisproblems
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