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Hallo,
ich bin mir unsicher, ob mein Lösungsweg richtig ist, deshalb poste ich hier meinen Beweis, und bitte um Hilfe:
Ich soll für A, wobei A eine Boolesche Algebra ist, zeigen, dass x [mm] \not= \neg [/mm] x ist für x [mm] \in [/mm] A, wobei A nicht trivial sein soll.
Ich bin so vorgegangen:
Ich führe einen Widerspruchsbeweis durch, indem ich annehme, sei x = [mm] \neg [/mm] x.
Es gilt x [mm] \cup [/mm] x = x und x [mm] \cap [/mm] x = x.
Also: x [mm] \cup [/mm] x = x [mm] \cup \neg [/mm] x = 1
und x [mm] \cap [/mm] x = x [mm] \cap [/mm] x = 0, also kann x nicht gleich [mm] \neg [/mm] x sein. q.e.d.
Stimmt das so?
Dann ist noch zu zeigen, dass x [mm] \cap [/mm] y = y gdw. x [mm] \cup [/mm] = x gilt.
Hierzu bin ich so vorgegangen:
Es gilt x [mm] \cap [/mm] y = y.
Dann : x [mm] \cup [/mm] y = x [mm] \cup [/mm] (x [mm] \cap [/mm] y) = (x [mm] \cup [/mm] x) [mm] \cap [/mm] (x [mm] \cup [/mm] y) = x [mm] \cap [/mm] (x [mm] \cup [/mm] y) = (x [mm] \cup [/mm] y) [mm] \cap [/mm] x = x, wobei der letzte Schritt nach Voraus. gilt.
Stimmt das?
Analog habe ich die andere Richtung gezeigt:
Gilt x [mm] \cup [/mm] y = x. Dann: x [mm] \cap [/mm] y = (x [mm] \cup [/mm] y) [mm] \cap [/mm] y = (x [mm] \cap [/mm] y) [mm] \cup [/mm] (y [mm] \cap [/mm] y) = (x [mm] \cap [/mm] y) [mm] \cap [/mm] y = y [mm] \cup [/mm] (x [mm] \cap [/mm] y) = y, letzter Schritt nach Vorraus.
Danke für die Hilfe!
Mfg,
fs
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Fabian!
> Ich soll für A, wobei A eine Boolesche Algebra ist, zeigen, dass x x ist für x A, wobei A nicht trivial sein soll.
> Ich bin so vorgegangen:
> Ich führe einen Widerspruchsbeweis durch, indem ich annehme, sei x = x.
> Es gilt x x = x und x x = x.
> Also: x x = x x = 1
> und x x = x x = 0, also kann x nicht gleich x sein. q.e.d.
> Stimmt das so?
Ja, das ist so richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es gilt x y = y.
> Dann : x y = x (x y) = (x x) (x y) = x (x y) = (x y) x = x, wobei der letzte > Schritt nach Voraus. gilt.
> Stimmt das?
> Analog habe ich die andere Richtung gezeigt:
> Gilt x y = x. Dann: x y = (x y) y = (x y) (y y) = (x y) y = y (x y) = y, letzter > Schritt nach Vorraus.
Ich verstehe deine letzten Schritte leider nicht [die, von denen du sagst, dass sie nach Voraussetzung gelten würden]. Kannst du die Schritte vielleicht ein wenig näher erläutern?
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo!
Mit Voraussetzung meine ich jeweils die Annahme, die ich ja immer machen muss, wenn ich einen "genau-dann-wenn"-Beweis durchführe.
D.h. beim Beweis von links nach rechts habe ich angenommen, dass x [mm] \cap [/mm] y = y gilt. Dann habe ich dies für die rechte Seite eingesetzt für y, und solange umgeformt bis ich auf folg. Schritt komme: ...= (x [mm] \cap [/mm] y) [mm] \cap [/mm] x. Und dies ist ja gleich x, weil ja nach der Annahme beim Durchschnitt immer gleich dem 2. Summand, oder?  So versteh das, weil ich ja angenommen habe, dass x [mm] \cap [/mm] y = y ist, also muss analog bei (x [mm] \cap [/mm] y) [mm] \cap [/mm] x = x sein.
Ich bin mir aber unsicher, ob das so richtig ist. Analog habe ich das von rechts nach links gezeigt.
Gruß, fs
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:57 Fr 04.11.2005 | | Autor: | fabian.stamm |
Hallo!
Mit Voraussetzung meine ich jeweils die Annahme, die ich ja immer machen muss, wenn ich einen "genau-dann-wenn"-Beweis durchführe.
D.h. beim Beweis von links nach rechts habe ich angenommen, dass x $ [mm] \cap [/mm] $ y = y gilt. Dann habe ich dies für die rechte Seite eingesetzt für y, und solange umgeformt bis ich auf folg. Schritt komme: ...= (x $ [mm] \cap [/mm] $ y) $ [mm] \cap [/mm] $ x. Und dies ist ja gleich x, weil ja nach der Annahme beim Durchschnitt immer gleich dem 2. Summand, oder? So versteh das, weil ich ja angenommen habe, dass x $ [mm] \cap [/mm] $ y = y ist, also muss analog bei (x $ [mm] \cap [/mm] $ y) $ [mm] \cap [/mm] $ x = x sein.
Ich bin mir aber unsicher, ob das so richtig ist. Analog habe ich das von rechts nach links gezeigt.
Gruß, fs
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Di 08.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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