Beweis Bild f, Kern < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es seien V, W endlich dimensionale K- Vektorräume, f:V--> W eine lineare Abbildung und [mm] X\subset [/mm] W ein Unterraumm. Zeigen Sie:
dim [mm] (f^{-1}(X)( [/mm] = dim [mm] (X\cap [/mm] Bild f) + dim (kern f)
Tipp: [mm] f(f^{-1}(X))= [/mm] X \ cap Bild f
betrachten Sie f U--> W mit U [mm] :=f^{-1}(X) [/mm] |
Hallo liebe Mathegemeinde,
den Beweis konnte ich mit Hilfe des Tipps lösen aber ich müsste jetzt eigentlich genau diesen Tipp noch beweisen und daran harpert es bei mir...
Meine Idee war das f (U)= X [mm] \cap [/mm] Bild f ist und dann zu zeigen das die linke seite eine Teilmenge der rechten ist und umgekehrt. leider harpert es schon daran wenn [mm] x\in [/mm] U nicht in X ist wodurch ja dann diese Gleichung
[mm] f(f^{-1}(X))= [/mm] X \ cap Bild f nicht mehr stimmt.
Ich habe diesen Frage in keinen anderen Forum gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mo 15.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin seamus321,
Zu zeigen ist:
[mm] $f(f^{-1}(X))= [/mm] X [mm] \cap \operatorname{Bild}(f)=X \cap [/mm] f(V)$
Ich will zunaechst einmal klaeren, wovon die Rede ist:
[mm] $f(V)=\{w\mid w\in W,\text{ es gibt ein } v\in V \text{ mit } f(v)=w\}$
[/mm]
[mm] $f^{-1}(X)=\{v\mid v\in V,\text{ es gibt ein } x\in X \text{ mit } f(v)=x\}$
[/mm]
[mm] "\supset": [/mm] Sei [mm] $y\in [/mm] X [mm] \cap [/mm] f(V)$. Dann gibt es ein [mm] $v_0\in [/mm] V$ mit
[mm] $y=f(v_0)\in [/mm] X$. Damit ist [mm] $v_0\in f^{-1}(X)$ [/mm] und folglich ist
[mm] $y=f(v_0)\in f(f^{-1}(X))$.
[/mm]
[mm] "\subset": [/mm] Sei [mm] $y\in f(f^{-1}(X))$. [/mm] Es gibt ein
[mm] $v_0\in f^{-1}(X)\subset [/mm] V$ mit [mm] $y=f(v_0)$. [/mm] Fuer dieses [mm] $v_0$ [/mm] gibt es
[mm] $x_0\in [/mm] X$ mit [mm] $f(v_0)=x_0$. [/mm] Mithin ist [mm] $y\in [/mm] X$.
vg Luis
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