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Hallo zusammen,
ich poste einfach mal den Aufgabentext und dann meine Gedanken.
1) U : endl. dim. VR. T [mm] \in [/mm] L(U), dim(U)=n.
W ein echter UVR von V (meine Anmerkung: U ?), dim (W)=r.
W ist T-invariant, wenn gilt: w [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] T(w) [mm] \in [/mm] W.
Man zeige: Es ex. eine Basis [mm] g_{1} [/mm] bis [mm] g_{n} [/mm] von U mit
A= Matrixdarst. von T von Basis G zu G : [mm] a_{i,j}=0, [/mm] i=r+1,...,n , j=1,...,r
Also wie die Matrix aussieht ist klar. Wenn man ein Kreuz reinlegt ist links unten alles 0. Dass dann W T-invariant ist ist auch logisch. Weiß nur net so recht wie ich jetzt die Basiseigenschaften lin. Unabh. und Erzeugendensystem für [mm] g_{1} [/mm] bis [mm] g_{n} [/mm] zeigen kann. Für eine Idee wäre ich dankbar.
2) Bed. wie bei 1).
Man zeige: [mm] W\perp [/mm] ist [mm] T\*
[/mm]
Man zeige: Es ex. eine Basis [mm] g_{1} [/mm] bis [mm] g_{n} [/mm] von U mit
B= Matrixdarst. von [mm] T\* [/mm] von Basis G zu G : [mm] b_{i,j}=0, [/mm] i=1,...,r , j=r+1,...,n
Das ist ja eben die transponierte von 1). Gleiches Problem wie bei 1).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Marcel
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Hallo!
> 1) U : endl. dim. VR. T [mm]\in[/mm] L(U), dim(U)=n.
> W ein echter UVR von V (meine Anmerkung: U ?), dim
> (W)=r.
> W ist T-invariant, wenn gilt: w [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] T(w)
> [mm]\in[/mm] W.
> Man zeige: Es ex. eine Basis [mm]g_{1}[/mm] bis [mm]g_{n}[/mm] von U
> mit
> A= Matrixdarst. von T von Basis G zu G : [mm]a_{i,j}=0,[/mm]
> i=r+1,...,n , j=1,...,r
>
> Also wie die Matrix aussieht ist klar. Wenn man ein Kreuz
> reinlegt ist links unten alles 0. Dass dann W T-invariant
> ist ist auch logisch. Weiß nur net so recht wie ich jetzt
> die Basiseigenschaften lin. Unabh. und Erzeugendensystem
> für [mm]g_{1}[/mm] bis [mm]g_{n}[/mm] zeigen kann. Für eine Idee wäre ich
> dankbar.
Die Frage ist ja eigentlich eher, die Basis zu wählen! Am besten wählst du dazu eine Basis von $W$ und eine von [mm] $W^\bot$ [/mm] und fügst sie zusammen...
> 2) Bed. wie bei 1).
> Man zeige: [mm]W\perp[/mm] ist [mm]T\*[/mm]
> Man zeige: Es ex. eine Basis [mm]g_{1}[/mm] bis [mm]g_{n}[/mm] von U
> mit
> B= Matrixdarst. von [mm]T\*[/mm] von Basis G zu G : [mm]b_{i,j}=0,[/mm]
> i=1,...,r , j=r+1,...,n
Meinst du damit, dass [mm] $W^\bot$ $T^\*$-invariant [/mm] ist? Hast du schon eine Idee, wie du das zeigen kannst?
> Das ist ja eben die transponierte von 1). Gleiches Problem
> wie bei 1).
Eigentlich ja. Du kannst es aber auch auf das Problem aus 1) zurückführen.
Gruß, banachella
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> Die Frage ist ja eigentlich eher, die Basis zu wählen! Am
> besten wählst du dazu eine Basis von [mm]W[/mm] und eine von [mm]W^\bot[/mm]
> und fügst sie zusammen...
Aber ich habe in Aufgabe 1) bei den Voraussetzungen kein inneres Produkt gegeben, bei Aufgabe 2) jedoch schon. Das hatte ich glaube ich nicht aufgeschrieben. Kann ich dann von [mm] W\perp [/mm] sprechen? [mm] W\perp [/mm] und W ergeben als direkte Summe natürlich U, klar. Muss ich dann nichts mehr zeigen? Kann ich einfach sagen, dass die beiden Basen zusammengefügt werden müssen? Wie finde ich denn [mm] W\perp [/mm] in der Matrixdarst. der lin. Abb. um das auch bei Aufgabe 2) zu zeigen !?
Gruß
Marcel
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Hallo Marcel!
Eigentlich genügt es in Teil 1) vollkommen, eine Basis von $W$ zu einer Basis von $U$ zu ergänzen. Ich hab's eigentlich nur deshalb so geschrieben, damit der zweite Teil ein bisschen offensichtlicher wird...
Gruß, banachella
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