Beweis Basis Isomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper K und A : V [mm] \to [/mm] W ein Homomorphismus. Weiterhin seien n, r [mm] \in \IN [/mm] mit r [mm] \leq [/mm] n. Zeigen Sie:
(a) Ist [mm] B_V [/mm] eine Basis von V und A bijektiv, so ist [mm] A(B_V) [/mm] eine Basis von W.
(b) Ist [mm] {v_1,...,v_r} [/mm] eine Basis von Kern A und [mm] {A(v_{r+1}), . . . ,A(v_n)} [/mm] eine Basis von Bild A, so ist [mm] {v_1, . . . , v_n} [/mm] eine Basis von V.
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Hallo.
Ich habe bereits bei a) einen ganz "tragbaren" Ansatz, aber ich wundere mich, ob ich die Bijektivität hier wirklich brauche. Ich seh nicht, wo ich die Surjektivität brauche -- aber ich glaube das ist gerade der Teil wo es im Moment noch hapert.
a) Sei dim V = n.
Da A insbesondere Gruppenhomomorphismus, ist A(0) = 0. Da A injektiv, hat die Null auch nur genau ein Urbild.
Sei [mm] B_V [/mm] = [mm] {v_1,...,v_n } [/mm] die Basis von V. D.h. es folgt aus: [mm] k_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] k_n v_n [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow k_1 [/mm] = .. = [mm] k_n [/mm] = 0.
Z.z. [mm] k_1 A(v_1) [/mm] + ... + [mm] k_n A(v_n) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow k_1 [/mm] = ... = [mm] k_n [/mm] = 0.
Es ist 0 = A(0) = [mm] A(k_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] k_n v_n) [/mm] = [mm] k_1 A(v_1) [/mm] + ... + [mm] k_n A(v_n) [/mm] = 0, aufgrund der Linearität.
Mit der Injektivität und das die [mm] v_i [/mm] Basis sind, folgt damit aber [mm] k_1 [/mm] = .. = [mm] k_n [/mm] = 0, also ist [mm] A(B_V) [/mm] Basis von W.
Was meint ihr dazu? Ich muss jetzt aber rein theoretisch noch zeigen, dass das Erzeugnis von [mm] A(B_V) [/mm] W erzeugt, oder?
Zu b) fehlt mir im Moment noch der Ansatz. Aber ich nehme mal an, das geht mit der Dimensionsformel. Es ist
n = dim(V) = dim Kern A + dim Bild A.
d.h. eine Basis des Kerns hat r Elemente, und eine Basis von Bild A hat n-r Elemente. Jetzt muss ich zeigen, dass die zusammen ganz V erzeugen.
Irgendwie sieht man das doch aus der Dimensionsformel, da:
n = dim(V) = dim Kern A + dim Bild A = r + (n-r) = n.
Was meint ihr?
Viele Grüße und eine schöne Vorweihnachtszeit 
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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> Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über einem
> Körper K und A : V [mm]\to[/mm] W ein Homomorphismus. Weiterhin
> seien n, r [mm]\in \IN[/mm] mit r [mm]\leq[/mm] n. Zeigen Sie:
>
> (a) Ist [mm]B_V[/mm] eine Basis von V und A bijektiv, so ist [mm]A(B_V)[/mm]
> eine Basis von W.
>
> (b) Ist [mm]{v_1,...,v_r}[/mm] eine Basis von Kern A und
> [mm]{A(v_{r+1}), . . . ,A(v_n)}[/mm] eine Basis von Bild A, so ist
> [mm]{v_1, . . . , v_n}[/mm] eine Basis von V.
>
> Hallo.
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> Ich habe bereits bei a) einen ganz "tragbaren" Ansatz, aber
> ich wundere mich, ob ich die Bijektivität hier wirklich
> brauche. Ich seh nicht, wo ich die Surjektivität brauche --
> aber ich glaube das ist gerade der Teil wo es im Moment
> noch hapert.
>
> a) Sei dim V = n.
> Da A insbesondere Gruppenhomomorphismus, ist A(0) = 0. Da
> A injektiv, hat die Null auch nur genau ein Urbild.
>
> Sei [mm]B_V[/mm] = [mm]{v_1,...,v_n }[/mm] die Basis von V. D.h. es folgt
> aus: [mm]k_1 v_1[/mm] + ... + [mm]k_n v_n[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow k_1[/mm] = .. = [mm]k_n[/mm]
> = 0.
>
> Z.z. [mm]k_1 A(v_1)[/mm] + ... + [mm]k_n A(v_n)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow k_1[/mm] =
> ... = [mm]k_n[/mm] = 0.
>
> Es ist 0 = A(0) = [mm]A(k_1 v_1[/mm] + ... + [mm]k_n v_n)[/mm] = [mm]k_1 A(v_1)[/mm] +
> ... + [mm]k_n A(v_n)[/mm] = 0, aufgrund der Linearität.
>
> Mit der Injektivität und das die [mm]v_i[/mm] Basis sind, folgt
> damit aber [mm]k_1[/mm] = .. = [mm]k_n[/mm] = 0, also ist [mm]A(B_V)[/mm] Basis von
> W.
Hallo,
diese Folgerung schießt übers Ziel hinaus: Du hast bisher lediglich gezeigt, daß die [mm] A(v_i) [/mm] linear unabhängig sind.
> Was meint ihr dazu? Ich muss jetzt aber rein theoretisch
> noch zeigen, dass das Erzeugnis von [mm]A(B_V)[/mm] W erzeugt, oder?
Du mußt das auch praktisch tun...
Und hier kommt dann die Surjektivität zum Einsatz.
Du willst ja zeigen, daß sich jedes [mm] w\in [/mm] W als Linearkombi der [mm] A(v_i) [/mm] darstellen läßt.
Der Start:
sei w [mm] \in [/mm] W.
Da A surjektiv, gibt es ein [mm] v\in [/mm] V mit w=A(v)= A(...)
Jetzt berücksichtige, daß sich v also linearkombi der [mm] v_i [/mm] schreiben läßt und nutze die Linearität der Abbildung.
>
> Zu b)
Du weißt ja, daß V n-dimensional ist.
Wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß die [mm] (v_1, ...,v_n) [/mm] linear unabhängig ist, weißt Du, daß es eine Basis ist.
Der Start:
es sei [mm] \summe a_iv_i=0
[/mm]
Nun wendest Du hierauf die Abbildung A an und nutzt die Informationen, die Du hast.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela.
Danke für die Rückmeldung
Dachte ich mir, dass ich das so nicht ganz machen kann.
Es sei also w [mm] \in [/mm] W beliebig gegeben. Da A surjektiv ist, existiert ein v [mm] \in [/mm] V mit w = A(v). Dieses v lässt sich als Linearkombination der [mm] v_i [/mm] darstellen, da diese eine Basis sind.
Damit folgt:
w = A(v) = [mm] A(k_1 v_1 [/mm] + ... + [mm] k_n v_n) [/mm] = [mm] k_1 A(v_1) [/mm] + ... + [mm] k_n A(v_n).
[/mm]
Damit lässt sich also jedes w [mm] \in [/mm] W als Linearkombination der [mm] A(v_i) [/mm] darstellen. Also ist [mm] [/mm] = W.
Geht das so?
Bei b) versuch ich mal ein bisschen weiter zu machen: ich glaube ich muss mir erstmal klar machen, wass ich genau habe.
also [mm] {v_1,...,v_r} [/mm] ist Basis von Kern A, d.h. ich kann über [mm] v_1,...,v_r [/mm] alle Vektoren v [mm] \in [/mm] V darstellen, für die gilt: A(v) = 0.
die Vektoren [mm] {v_{r+1},...,v_n} [/mm] sind Basis von Bild A, d.h. ich kann über diese Vektoren alle Vektoren A(v) [mm] \in [/mm] W darstellen, mit v [mm] \in [/mm] V ---oder hab ich das hier falsch verstanden? Die Definition von Bild finde ich i.A. etwas, naja undurchsichtiger...
Es sei [mm] \summe_{i=1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = 0 => [mm] A(\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}= [/mm] A(0) = 0.
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] A(\summe_{i=1}^{r}{v_i k_i} [/mm] + [mm] A(\summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = 0
Jetzt muss ich irgendwie auf den Kern, bzw. das Bild wieder zurückkommen -- aber wie gesagt, vielleicht ist das noch ein grundlegendes Verständnisproblem...
Gruß und dank für die Hilfe
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> Es sei also w [mm]\in[/mm] W beliebig gegeben. Da A surjektiv ist,
> existiert ein v [mm]\in[/mm] V mit w = A(v). Dieses v lässt sich als
> Linearkombination der [mm]v_i[/mm] darstellen, da diese eine Basis
> sind.
>
> Damit folgt:
> w = A(v) = [mm]A(k_1 v_1[/mm] + ... + [mm]k_n v_n)[/mm] = [mm]k_1 A(v_1)[/mm] + ... +
> [mm]k_n A(v_n).[/mm]
>
> Damit lässt sich also jedes w [mm]\in[/mm] W als Linearkombination
> der [mm]A(v_i)[/mm] darstellen.
> Also ist [mm][/mm] = W.
>
> Geht das so?
Ja.
Nun noch ein abschließender Satz darüber, daß Du nun ein linear unabhängiges Erzeugendensystem hast, also eine Basis.
>
> Bei b) versuch ich mal ein bisschen weiter zu machen: ich
> glaube ich muss mir erstmal klar machen, wass ich genau
> habe.
>
> also [mm]{v_1,...,v_r}[/mm] ist Basis von Kern A, d.h. ich kann über
> [mm]v_1,...,v_r[/mm] alle Vektoren v [mm]\in[/mm] V darstellen, für die gilt:
> A(v) = 0.
Ja.
>
> die Vektoren [mm]{v_{r+1},...,v_n}[/mm] sind Basis von Bild A,
Nein, das stand in der Aufgabe anders: die Bilder dieser Vektoren sind eine Basis des Bildes.
(Das Bild ist ja auch eine Teilmenge von W, daher wird seine Basis kaum eine Teilmenge von V sein.)
> ich kann über diese Vektoren alle Vektoren A(v) [mm]\in[/mm] W
> darstellen,
Du kannst mit den [mm] A(v_i) r+1\le r\le [/mm] n alle Vektoren von Bild A darstellen.
> Es sei [mm]\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}[/mm] = 0 =>
> [mm]A(\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}=[/mm] A(0) = 0.
Genau, denn A ist eine lineare Abbildung.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]A(\summe_{i=1}^{r}{v_i k_i}[/mm] + [mm]A(\summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i}[/mm]
> = 0
>
> Jetzt muss ich irgendwie auf den Kern, bzw. das Bild wieder
> zurückkommen
Du bist nah dran.
Die [mm] v_i [/mm] in der ersten Summe sind doch eine Basis des Kerns . Also ist die erste Summe =0.
Du behältst
[mm] A(\summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i})= [/mm] 0
<==> [mm] \summe_{i=r+1}^{n}k_iA(v_i)=0
[/mm]
Also ist [mm] k_{r+1}=...=k_n=0 [/mm] (warum?)
Also ist
[mm] 0=\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{r}{v_i k_i}, [/mm] und wenn Du bedenkst, daß [mm] (v_1, ...v_r) [/mm] eine Basis des Kerns ist, weißt Du, daß auch diese [mm] k_i=0 [/mm] sind. (Denn???)
Insgesamt ist dann die lineare Unabhängigkeit der [mm] v_i [/mm] gezeigt.
Was hat man? Einen n-dimensionalen VR V und in diesem eine linear unabhängige Teilmenge von n Vektoren, also ???
Gruß v. Angela
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hallo angela
Das freut mich, das zumindest der Ansatz einigermaßen korrekt ist.
Also ich betrachte, [mm] \summe_{i=1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = 0.
Damit [mm] A(\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}) [/mm] = A(0) = 0, da A linear und damit insbesondere Gruppenhomomorphismus ist.
Damit ist:
[mm] A(\summe_{i=1}^{r}{v_i k_i}) [/mm] + [mm] A(\summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = 0, wobei [mm] A(\summe_{i=1}^{r}{v_i k_i}) [/mm] = 0 => [mm] k_1 [/mm] = ... = [mm] k_r [/mm] = 0, da die [mm] v_i [/mm] eine Basis des Kerns sind.
Der zweite Teil:
[mm] A(\summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = [mm] k_{r+1} A(v_{r+1}) [/mm] + ... + [mm] k_{n} A(v_n) [/mm] = 0 => [mm] k_{r+1} [/mm] = .. = [mm] k_n [/mm] = 0, da die [mm] A(v_i) [/mm] eine Basis des Bildes sind.
Also ist insgesamt:
0 = [mm] A(\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}) [/mm] = [mm] A(\summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i}), [/mm] also:
[mm] \summe_{i=1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = [mm] \summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = 0
=> [mm] k_i [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,n}, und damit gezeigt, das die Vektoren [mm] v_1,..,v_n [/mm] Basis von V sind.
Geht das so einigermaßen? Gerade der letzte Schritt ist mir noch nicht klar. Ich mach das ja "stückweise", zuerst die ersten [mm] k_1 [/mm] = ... = [mm] k_r [/mm] = 0, und dann die reslichen... aber die Rückkombination auf das ganze, naja so 100% klar ist mir das nicht. Aber vielleicht muss ich darüber mal schlafen...
Grüße und dank
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> hallo angela
>
> Das freut mich, das zumindest der Ansatz einigermaßen
> korrekt ist.
>
> Also ich betrachte, [mm]\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}[/mm] = 0.
>
> Damit [mm]A(\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i})[/mm] = A(0) = 0, da A linear
> und damit insbesondere Gruppenhomomorphismus ist.
>
> Damit ist:
>
> [mm]A(\summe_{i=1}^{r}{v_i k_i})[/mm] + [mm]A(\summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i}[/mm]
> = 0, wobei [mm]A(\summe_{i=1}^{r}{v_i k_i})[/mm] = 0 => [mm]k_1[/mm] = ... =
> [mm]k_r[/mm] = 0, da die [mm]v_i[/mm] eine Basis des Kerns sind.
Hallo,
dieser Schluß stimmt nicht.
Es ist [mm] A(\summe_{i=1}^{r}{v_i k_i}) [/mm] = 0 \ \ (wegen Kern),
also ist
> Der zweite Teil:
> [mm]A(\summe_{i=r+1}^{n}{v_i k_i}[/mm] = [mm]k_{r+1} A(v_{r+1})[/mm] + ... +
> [mm]k_{n} A(v_n)[/mm] = 0 => [mm]k_{r+1}[/mm] = .. = [mm]k_n[/mm] = 0, da die [mm]A(v_i)[/mm]
> eine Basis des Bildes sind.
Nun geht man zurück zu
> [mm] \summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}r= [/mm] 0.
Da die [mm] "k_i [/mm] des Bildes" =0 sind, behält man
[mm] \summe_{i=1}^{r}{v_i k_i}= [/mm] 0,
und hieraus folgt, daß die restlichen [mm] k_i [/mm] auch =0 sind, weil ja [mm] (v_1,..., v_r) [/mm] linear unabhängig sind (Basis des Kerns).
Gruß v. Angela
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Hallo Angela.
So 100%ig hab ich nun nach genauerem überlegen das immer noch nicht durchgeschaut.
Ich probier das noch mal ausgiebiger zu formulieren, vielleicht wird mir dann klar, wo der gedankliche Haken liegt...
"Ist [mm] \{v_1, . . . , v_r\} [/mm] eine Basis von KernA und [mm] \{A(v_{r+1}), . . . ,A(v_n)\} [/mm] eine Basis von BildA, so ist [mm] \{v_1, . . . , v_n\} [/mm] eine Basis von V."
Ich muss also zeigen, dass aus [mm] \summe_{i=1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow k_1 [/mm] = ... = [mm] k_n [/mm] = 0 folgt.
Sei [mm] \summe_{i=1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = 0.
Da A Gruppenhomomorphismus, ist [mm] A(\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}) [/mm] = A(0) = 0
[mm] \Righarrow
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{r}{A(v_i k_i)} [/mm] + [mm] \summe_{i=r+1}^{n}{A(v_i k_i)} [/mm] = 0
Es ist [mm] \summe_{i=1}^{r}{A(v_i k_i)} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] k_1 [/mm] = ... = [mm] k_r [/mm] = 0, da die [mm] v_1,..,v_r [/mm] Basis von KernA sind.
D.h. die ersten [mm] k_1,...,k_r [/mm] erfüllen schon mal die Bedingung.
Betrachte nun: [mm] \summe_{i=r+1}^{n}{A(v_i k_i)} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \summe_{i=r+1}^{n}{k_i A(v_i)} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow k_{r+1} [/mm] = .. = [mm] k_n [/mm] = 0, da die [mm] A(v_i) [/mm] Basis des Bildes von A sind.
Damit folgt insgesamt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}{v_i k_i} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow k_1 [/mm] = ... = [mm] k_n [/mm] = 0.
Und das galt es ja zu zeigen... ich glaube so hab ich das nun richtig aufgeschrieben
Liebe Grüße und dank
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> "Ist [mm]\{v_1, . . . , v_r\}[/mm] eine Basis von KernA und
> [mm]\{A(v_{r+1}), . . . ,A(v_n)\}[/mm] eine Basis von BildA, so ist
> [mm]\{v_1, . . . , v_n\}[/mm] eine Basis von V."
>
> Ich muss also zeigen, dass aus [mm]\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}[/mm] =
> 0 [mm]\Rightarrow k_1[/mm] = ... = [mm]k_n[/mm] = 0 folgt.
Hallo,
ja, das ist das, worauf man zusteuern muß.
>
> Sei [mm]\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}[/mm] = 0.
>
> Da A Gruppenhomomorphismus, ist [mm]A(\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i})[/mm]
> = A(0) = 0
> [mm]\Righarrow[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{r}{A(v_i k_i)}[/mm] + [mm]\summe_{i=r+1}^{n}{A(v_i k_i)}[/mm]
> = 0
>
> Es ist [mm]\summe_{i=1}^{r}{A(v_i k_i)}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]k_1[/mm] = ... = [mm]k_r[/mm] = 0, da die [mm]v_1,..,v_r[/mm] Basis von KernA
> sind.
Nein, dieser Schluß ist verkehrt, und ich meine mich zu erinnern, daß Du ihn schonmal gemacht hast.
Dieser Schluß wäre nur richtig, wenn A injektiv wäre, also der Kern nur aus der Null bestünde.
Dann könnte man sagen, daß aus [mm] \summe_{i=1}^{r}{A(v_i k_i)} [/mm] = 0 folgt [mm] \summe_{i=1}^{r}(v_i k_i)=0, [/mm] und hieraus dann, daß alle Koeffizienten =0 sind, aber das geht hier nicht.
Du kannst aus [mm] \summe_{i=1}^{r}{A(v_i k_i)}[/mm] [/mm] = 0 (wg. Kern) schließen, daß dann
>
> [mm]\summe_{i=r+1}^{n}{A(v_i k_i)}[/mm] = 0
ist.
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=r+1}^{n}{k_i A(v_i)}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow k_{r+1}[/mm] = .. = [mm]k_n[/mm] = 0, da die [mm]A(v_i)[/mm] Basis
> des Bildes von A sind.
ja.
Nun hast Du, daß die letzten [mm] k_i [/mm] alle =0 sind.
also ist
[mm] 0=\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}=\summe_{i=1}^{r}{v_i k_i}
[/mm]
Und erst jetzt kannst Du Dich über die ersten [mm] k_i [/mm] hermachen.
Da die [mm] v_i [/mm] eine Basis des Kerns sind, als insbes. linear unabhängig,
folgt nun
[mm] k_1=...=k_r=0.
[/mm]
>
> Damit folgt insgesamt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}{v_i k_i}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow k_1[/mm] = ... = [mm]k_n[/mm]
> = 0.
Gruß v. Angela
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