Beweis - lineare Unabhängigk. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V sei ein n-dimensionaler Vektorraum über K mit der Basis [mm] {b_{1}, b_{2},...,b_{2}} [/mm] und [mm] v_{1}, v_{2},...,v_{2}\in V [/mm] seiern Vektoren mit eindeutigen Darstellungen [mm] v_{i}= \summe_{i=1}^{n}=\lambda_{ij}b_{ij}.
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] {v_{1}, v_{2},...,v_{2}} [/mm] ist linenar unabhängig genau dann, wenn die Menge der Koordinatenvektoren
[mm] {(\lambda_{1} , \lambda_{12} ,..., \lambda_{1n} ),( \lambda_{21} , \lambda_{22} ,..., \lambda_{2n} ),..., ( \lambda_{k1} , \lambda_{k2} ,..., \lambda_{kn}) }
[/mm]
linear unabhängig in [mm] K_{n} [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Lineare-Unahaengigkeit-allgemein-beweisen
Hat jemand eine Idee für mich, wie man den Beweis am Besten angeht?? Kontraposition?? Wiederspruch???
Meine eigenen Ansätze halten sich bei diesem Beispiel leider in Grenzen. Da die Vektoren aus V linear unabhängig sind, kann man sie als Linearkomb. aufschreiben, die 0 ergeben muss und wobei auch alle Koeffizienten 0 sein müssen, wie man das aber verwenden kann weiß ich leider nicht.
Bitte um Hilfestellungen =) Dankeschön!!
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> V sei ein n-dimensionaler Vektorraum über K mit der Basis
> [mm]{b_{1}, b_{2},...,b_{\red{n}}}[/mm] und
> [mm]v_{1}, v_{2},...,v_{\red{n}}\in V[/mm] seiern Vektoren mit
> eindeutigen Darstellungen
> [mm]v_{i}= \summe_{\red{j}=1}^{n}\lambda_{ij}b_{\red{j}}.[/mm]
>
>
> Zu zeigen ist: [mm]{v_{1}, v_{2},...,v_{\red{n}}}[/mm] ist linenar
> unabhängig genau dann, wenn die Menge der
> Koordinatenvektoren
>
>
> [mm]{(\lambda_{1\red{1}} , \lambda_{12} ,..., \lambda_{1n} ),( \lambda_{21} , \lambda_{22} ,..., \lambda_{2n} ),..., ( \lambda_{k1} , \lambda_{k2} ,..., \lambda_{kn}) }[/mm]
>
> linear unabhängig in [mm]K_{n}[/mm] ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe mal versucht, Deinen Aufgabentext sinnstiftend zu bearbeiten.
Es wäre gut, wenn Du diesbezüglich in Zukunft sorgfältiger wärst.
> Hat jemand eine Idee für mich, wie man den Beweis am
> Besten angeht??
Zunächst mal ist es immer gut, wenn man sich genau aufschreibt, was zu zeigen ist.
Der von Dir verlangte Beweis hat zwei Richtungen:
A.
[mm] v_1, v_2,..., v_n [/mm] sind linear unabhängig ==>
[mm](\lambda_{1\red{1}} , \lambda_{12} ,..., \lambda_{1n} ),( \lambda_{21} , \lambda_{22} ,..., \lambda_{2n} ),..., ( \lambda_{k1} , \lambda_{k2} ,..., \lambda_{kn}) }[/mm] sind linear unabhängig
B.
[mm](\lambda_{1\red{1}} , \lambda_{12} ,..., \lambda_{1n} ),( \lambda_{21} , \lambda_{22} ,..., \lambda_{2n} ),..., ( \lambda_{k1} , \lambda_{k2} ,..., \lambda_{kn}) }[/mm] sind linear unabhängig ==>
[mm] v_1, v_2,...,v_n [/mm] sind linear unabhängig.
zu A.
Seien [mm] k_1,...,k_n\in \IR [/mm] mit
[mm] k_1*[/mm] [mm](\lambda_{1\red{1}} , \lambda_{12} ,..., \lambda_{1n} ) + k_2*( \lambda_{21} , \lambda_{22} ,..., \lambda_{2n} ) + ... + k_n*( \lambda_{k1} , \lambda_{k2} ,..., \lambda_{kn}) }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=(0,0,...,0)
Hieraus mußt Du nun "irgendwie" mithilfe der Voraussetzung, daß die v_1,v_2, ...,v_n linear unahängig sind, folgern, daß k_1=...=k_n=0 gilt.
Ist Dir dies gelungen, so ist die Behauptung gezeigt.
Aus
k_1*$(\lambda_{1\red{1}} , \lambda_{12} ,..., \lambda_{1n} ) + k_2*( \lambda_{21} , \lambda_{22} ,..., \lambda_{2n} ) + ... + k_n*( \lambda_{k1} , \lambda_{k2} ,..., \lambda_{kn}) }$=(0,0,...,0)
folgt mit Zwischenschritten, welche Du Dir genau überlegen solltest
k_1\lambda_{11}+k_2\lambda_{21}+...+k_n\lambda{n1}=0
k_1\lambda_{12}+k_2\lambda_{22}+...+k_n\lambda{n2}=0
\vdots
k_1\lambda_{1n}+k_2\lambda_{2n}+...+k_n\lambda{nn}=0
Von hier aus muß man nun die Kurve kratzen zu den v_i:
es ist dann
k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=k_1$\summe_{\red{j}=1}^{n}\lambda_{1j}b_{\red{j}}+k_2$\summe_{\red{j}=1}^{n}\lambda_{2j}b_{\red{j}}+...+k_n$\summe_{\red{j}=1}^{n}\lambda_{nj}b_{\red{j}}$
=(...)*b_1+(...)*b_2+...+(...)b_n= ???
Bedenke nun, daß v_1,...,v_n lt. Voraussetzung linear unabhängig sind.
Was folgt?
Gruß v. Angela
> Kontraposition?? Wiederspruch???
> Meine eigenen Ansätze halten sich bei diesem Beispiel
> leider in Grenzen. Da die Vektoren aus V linear unabhängig
> sind, kann man sie als Linearkomb. aufschreiben, die 0
> ergeben muss und wobei auch alle Koeffizienten 0 sein
> müssen, wie man das aber verwenden kann weiß ich leider
> nicht.
>
> Bitte um Hilfestellungen =) Dankeschön!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 So 27.11.2011 | | Autor: | marie1992 |
Dankeschön =) du hast mir wirklich sehr geholfen!!
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