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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 So 01.05.2005 | | Autor: | nina-111 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich komme mal wieder bei einer Aufgabe nicht weiter.
Die Aufgabe lautet: Beweisen Sie, dass bei einer Drehung D um Z mit einem Winkel [mm] \alpha, [/mm] sich jede Gerade g mit ihrem Bild g' unter dem Winkel [mm] \alpha [/mm] schneidet.
Mir fehlt der Ansatz. Vielleicht indirekter Beweis. Aber müsste ich dann nicht annehmen, dass sich g und g' nicht schneiden; das würde wiederrum bedeuten, dass sie parallel sind... also irgendwie scheine ich so nicht weiter zu kommen.
Schonmal vielen Dank, falls mir jemand auf den richtigen Weg helfen kann.
Viele liebe Grüße
nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Nina
es ist relativ schwierig, hier zu antworten, da du keine Voraussetzungen mitgibst (geometrischer Beweis, analytischer Beweis).
So ganz unvoreingenommen würde ich etwa so vorgehen:
1) Wahl eines geeigneten Koordinatensystems.
2) Gleichung einer Geraden in diesem Koordinatensystem aufstellen
3) Gleichung der gedrehten Geraden aufstellen und
4) den Zwischenwinkel berechnen.
Zu 1)
Ich wähle das Koordinatensystem so, dass Z im Ursprung liegt.
Zu 2)
Die Gerade hat die Gleichung [mm] $y=m_1 [/mm] x + c$
Zu 3)
Durch Drehung um den Ursprung (der ja jetzt Z ist) wird in den Gleichungen jedes $x_$ ersetzt durch [mm] $x*\cos\alpha+y*\sin\alpha$.
[/mm]
Ebenso jedes $y$ durch [mm] $y*\cos\alpha-x*\sin\alpha$.
[/mm]
Dadurch wird die gedrehte Gerade so dargestellt:
$y = [mm] \bruch{a*\cos\alpha+\sin\alpha} {\cos\alpha-a*\sin\alpha}*x+\bruch{c}{\cos\alpha-a*\sin\alpha}$
[/mm]
Zu 4)
Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden mit den Steigungen [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] berechnet sich gemäss der Formel:
[mm] $\tan\varphi=\bruch{m_2-m_1}{1+m_2*m_1}$
[/mm]
Du brauchst also nur einzusetzen und dann laufend zu vereinfachen.
Auf meinem Schmierzettel steht dann ganz zum Schluss:
[mm] $\tan\varphi=\tan\alpha$, [/mm] womit der Beweis erbracht worden ist. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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