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hallo,
ich möchte folgende Behauptung beweisen:
Eine an einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] ihres Definitionsbereichs differenzierbare Funktion f, steigt bei [mm] x_{0}, [/mm] falls f'( [mm] x_{0}) [/mm] > 0.
Hier meine Beweisidee:
Die Funktion f soll auf dem Intervall [mm] [x_{1}; x_{2}] [/mm] steigen. [mm] x_{0} [/mm] soll innerhalb des Intervalls liegen.
Also gilt: [mm] x_{1}< x_{0}< x_{2} \Rightarrow f(x_{1})
Nun stelle ich folgende Gleichung auf:
[mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] f(x_{1}) [/mm] * [mm] \bruch{f(x_{0})-f(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}
[/mm]
Jetzt lasse ich noch [mm] x_{1} [/mm] gegen [mm] x_{0} [/mm] streben, woraus folgt:
[mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] f(x_{0}) [/mm] * [mm] f'(x_{0}), [/mm] denn aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit an der Stelle [mm] x_{0}. [/mm]
Umformung (Vorr.: [mm] f(x_{0}) \not= [/mm] 0):
1 = [mm] f'(x_{0}). [/mm] Also ist [mm] f'(x_{0}) [/mm] positiv.
Ich hoffe der Beweis klappt so 
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Flipper368,
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") das klappt so nicht ganz!!
So hättest Du ja nachgewiesen, daß jede Funktion die auf dem Intervall [mm][x_{1}; x_{2}][/mm] (monoton) steigend ist, die Steigung immer [mm] $f'(x_0) [/mm] = 1$ beträgt.
Du siehst sicher ein, daß das so nicht stimmt ...
> Eine an einer Stelle [mm]x_{0}[/mm] ihres Definitionsbereichs
> differenzierbare Funktion f, steigt bei [mm]x_{0}[/mm], falls [mm]f'(x_{0})[/mm] > 0.
> Hier meine Beweisidee:
> Die Funktion f soll auf dem Intervall [mm][x_{1}; x_{2}][/mm]
> steigen. [mm]x_{0}[/mm] soll innerhalb des Intervalls liegen.
> Also gilt: [mm]x_{1}< x_{0}< x_{2} \Rightarrow f(x_{1})
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Nun stelle ich folgende Gleichung auf:
> [mm]f(x_{0}) = f(x_{1}) * \bruch{f(x_{0})-f(x_{1})}{x_{0}-x_{1}}[/mm]
Wie kommst Du hierauf ... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ?
> Jetzt lasse ich noch [mm]x_{1}[/mm] gegen [mm]x_{0}[/mm] streben,
> woraus folgt:
Auch das ist nicht 100% sauber! Die Intervallgrenzen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sind ja fest. Aber ich denke Du meinst das richtige ...
> [mm]f(x_{0})[/mm] = [mm]f(x_{\red{0}}) * f'(x_{0}),[/mm]
Einfach nur ein Schussel-Abschreib-Fehler !!!
Richtig: [mm]f(x_{0}) = f(x_{\red{1}}) * f'(x_{0})[/mm]
Und dann hängt's doch, oder ?!?
Gegenvorschlag:
[mm] $\forall [/mm] x, [mm] x_0 \in [/mm] [a; b]$ sei f stetig, differenzierbar und monoton steigend.
o.B.d.A.: $x > [mm] x_0$ $\gdw$ [/mm] $x - [mm] x_0 [/mm] > 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f(x) > [mm] f(x_0)$ $\gdw$ [/mm] $f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] > 0$
gilt wegen monoton steigend
$f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] > 0$ | $ :(x - [mm] x_0) [/mm] > 0$
[mm] $\gdw$ $\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} [/mm] > 0$
Grenzwertbetrachtung für $x [mm] \to x_0$:
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} [/mm] =: [mm] f'(x_0) [/mm] > 0$
So, und nu', wo wir fertig sind, sehen wir auch noch, daß wir die falsche Richtung nachgewiesen haben ...
Ich glaub', ich halt's wie Garfield: Ich hasse Montage!!
Der nächste bitte ... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Aus
[mm] $f'(x_0) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$
[/mm]
folgt: Es gibt ein [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\varepsilon$ [/mm] gilt:
[mm] $\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}>0$.
[/mm]
Jetzt bist du dran: Warum folgt daraus die Behauptung?
Was ist überhaupt die Behauptung?
Folgendes: Es gibt ein [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\varepsilon$ [/mm] aus der Ungleichung [mm] $xx_0$ [/mm] die Ungleichung [mm] $f(x)>f(x_0)$ [/mm] folgt.
Das zu zeigen ist jetzt ein Kinderspiel für dich...
Liebe Grüße
Stefan
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Hi,
nachdem Loddar bemerkt hat dass ich von Anfang an in die falsche Richtung gegangen bin hab ich mir gestern Abend noch was neues überlegt, was glaub ich in deine Richtung geht . Also:
[mm] x_{r} [/mm] soll > [mm] x_{0} [/mm] sein. Jetzt bilde ich den rechtsseitigen Differentialquotienten:
[mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] \limes_{ x_{r}\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f( x_{0})-f( x_{r})}{ x_{0}- x_{r}} [/mm] > 0. (Dies gilt, weil f ja bei [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist)
Der Nenner strebt von links gegen 0, ist also negativ. Der ganze Bruch ist also nur positiv, wenn der Zähler auch negativ ist. Dies ist er allerdings nur, wenn [mm] f(x_{r}) [/mm] > [mm] f(x_{0}) [/mm] ist.
Dadurch dass der Abstand zwischen [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{r} [/mm] immer kleiner wird müsste die Betragsungleichung mit der Epsilonumgebung doch eigentlich erfüllt sein?
Das gleiche kann ich jetzt mit dem linksseitigen Differentialquotienten machen (also mit [mm] x_{l}).
[/mm]
Hoffe so gehts  . Was hat mich bloß geritten jemals Mathe zu wählen??
Lg
Philip
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