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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Do 23.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Mit [mm] $\mathcal{B}(1)$ [/mm] bezeichnen wir die Bewegungsgruppe des euklid'schen
Raums [mm] $\mathbb{R}^{1}.$
[/mm]
Einige Elemente sind:
[mm] $t_{a}$ [/mm] mit [mm] $t_{a}(x)=x+a,\,\,\,\forall a\in\mathbb{R},$ [/mm] $r$ mit
$r(x)=-x.$
Zeigen Sie: [mm] $\mathcal{B}(1)=\{t_{a},t_{a}r|a\in\mathbb{R}\}$ [/mm] und
diese Elemente sind paarweise verschieden. |
Hallo,
dass die Elemente paarweise verschieden sind ist mir schon klar, denn
es gilt [mm] $t_{a}r(x)=t_{a}(-x)=-x+a,$ [/mm] d.h. doch aber, dass sie nur
für [mm] $x\neq0$ [/mm] paarweise verschieden sind, oder?
Naja die Bewegungsgruppe enthält alle uneigentlichen und alle eigentlichen
Bewegungen. Eine Bewegung besteht aus einer orthogonalen Abbildung
und einer Translation. Nun befinde ich mich aber nur in [mm] $\mathbb{R},$
[/mm]
wie soll ich da orthogonale Abbildung interpretieren, und warum ist
$x$ dann eine solche?
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> Mit [mm]\mathcal{B}(1)[/mm] bezeichnen wir die Bewegungsgruppe des
> euklid'schen
> Raums [mm]\mathbb{R}^{1}.[/mm]
>
> Einige Elemente sind:
>
> [mm]t_{a}[/mm] mit [mm]t_{a}(x)=x+a,\,\,\,\forall a\in\mathbb{R},[/mm] [mm]r[/mm] mit
> [mm]r(x)=-x.[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]\mathcal{B}(1)=\{t_{a},t_{a}r|a\in\mathbb{R}\}[/mm]
> und
> diese Elemente sind paarweise verschieden.
> Hallo,
>
> dass die Elemente paarweise verschieden sind ist mir schon
> klar, denn
> es gilt [mm]t_{a}r(x)=t_{a}(-x)=-x+a,[/mm] d.h. doch aber, dass sie
> nur
> für [mm]x\neq0[/mm] paarweise verschieden sind, oder?
>
> Naja die Bewegungsgruppe enthält alle uneigentlichen und
> alle eigentlichen
> Bewegungen. Eine Bewegung besteht aus einer orthogonalen
> Abbildung
> und einer Translation. Nun befinde ich mich aber nur in
> [mm]\mathbb{R},[/mm]
> wie soll ich da orthogonale Abbildung interpretieren, und
> warum ist
> [mm]x[/mm] dann eine solche?
Rechte Winkel gibt es in [mm] \IR^1 [/mm] offensichtlich nicht.
Insofern ist der Begriff "orthogonale Abbildung" hier
zumindest irritierend. Was aber noch geblieben ist,
ist die Längenmessung. Eine orthogonale Abbildung
muss auch längentreu sein, d.h. im [mm] \IR^1: [/mm] Für eine
"orthogonale" Abbildung [mm] f:\IR\to\IR [/mm] und für zwei
beliebige Werte [mm] x_1, x_2\in\IR [/mm] muss stets gelten:
$\ [mm] |f(x_2)-f(x_1)|\ [/mm] =\ [mm] |x_2-x_1|$
[/mm]
Dafür kommen natürlich nur lineare Funktionen
der Form $\ f(x)=m*x+b$ mit $\ |m|=1$ in Frage.
Mit anderen Worten: m=1 oder m=-1.
Diejenigen Funktionen f mit Det(f)=m=1
ergeben die "eigentlichen" Bewegungen
bzw. die Translationen des [mm] \IR^1 [/mm] .
Jene mit Det(f)=m=-1 ergeben die "uneigent-
lichen" Bewegungen (Spiegelungen) des [mm] \IR^1 [/mm] .
LG Al-Chw.
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