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| Aufgabe | Eine Kugel V bewegt sich mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn.
Eine zweite Kugel U startet im Mittelpunkt des Kreises und bewegt sich mit der Geschwindigkeit u auf Kugel V zu.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Fragen:
Wann wird U die Kreisbahn von V erreichen? / Wird U jemals die Kreisbahn von V erreichen? / Auf was für einer Bahn bewegt sich U?
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Ich habe das Ganze mal auf einem Stück Papier aufgezeichnet. So etwas ist natürlich recht ungenau. Dennoch kam ich zwei Mal auf eine Kreisbahn für U.
Meine Vermutung:
Solange u < v ist, kann die Kugel U nicht die Kreisbahn von V durchdringen.
Je kleiner u ist (bei konstantem v), desto kleiner wird der Radius von U.
Kann man diese meine Vermutung mathematisch bestätigen / beweisen / widerlegen / simulieren?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal zu ner Simulstion auf dem Papier. nimm etwa v=2u
Dann teil den äusseren Kreis z. Bsp in 12 Teile ein.
jeden der Teile legt die äussere Kugel in der gleeichen Zeit [mm] t_1 [/mm] zurück. dann zeichne zu diesen Zeitpunkten jeweils die Wegstücke [mm] u*t_1, [/mm] die halb solang sind wie der Bogen , die reihst du aneinander und kriegst ne Art Spirale. Wenn du den Kreis kleinereinteilst, wirds genauer.
jetzt kommst du auch auf die Rechnung:
[mm] \vec{r(t)}=\vektor{rcos(\omega*t) \\ r*sin(\omega*t)}
[/mm]
für die äussere Kugel
für die Innere hat man mit dem Ort [mm] \vec{r_1}
[/mm]
[mm] \vec{u(t)}=\vec{r_1'(t)}=u_0*\bruch{\vec{r(t)}-\vec{r_1(t)}}{|r-r_1|} [/mm] also eine Differentialgleichung.
jetzt zu deiner Vermutung mit dem Kreis:
Wenn beide mit derselben Winkelgeschw. umlaufen, ist ihre relative Stellung immer gleich, mit u=v/2 etwa, ist das der Fall, wenn der innere auf einem Kreis mit r/2 umläuft. und [mm] \pi/3 [/mm] phasenverschoben zu dem äusseren
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Fr 20.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Danke leduart
Zufälliger Weise hatte ich die Papier-Simulation bereits genau so gemacht, wie du vorgeschlagen hast. Und zwar einmal mit u=v und einmal mit u=v/2
(Meine Gradeinteilung war 10° - also 36 Teile - und somit genauer, als duvorgeschlagen hast).
Bei u=v hatte die Kugel U bereits nach 80° die Kugel V erreicht.
Bei u=v/2 dauerte es etwa eine anderthalbe Umdrehung (= 540° von V), bis U auf eine Kreisbahn kam.
Diese Kreisbahn hat jedoch nicht den Radius 0.5*r, sondern eher den Radius 0.6*r. (Das ist natürlich nur Augenschein, aber ich glaube nicht, dass ich mich dermaßen stark verzeichnet habe)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Fr 20.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Bei u=v hatte die Kugel U bereits nach 80° die Kugel V
> erreicht.
Kann das sein? Das widerspricht meinem Bauchgefühl, da die Kugel, die vom MP kommt, einen längeren Weg zu haben scheint.
Können die bei gleicher Geschw. auf einem Kreis hintereinanderherlaufen? Schließlich ist der Geschwindigkeitsvektor der ersten Kugel tangential, der der 2. aber etwas nach innen gerichtet, da sie ja auf die 1. zielt. Was passiert, wenn die beiden Kugeln sich diametral gegenüber befinden?
Vielleicht kann sich ja auch mal jemand mit MATLAB über die DGln hermachen?
Vielen Dank für jede Unterstützung meines trägen Hirns
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Fr 20.11.2009 | | Autor: | pi-roland |
Hallo,
wahrscheinlich verstehe ich die Aufgabe nicht ganz richtig, aber was passiert denn wenn v=0 ist? Dann vollführt die Kugel U eine geradlinige Bewegung auf die Kugel V, richtig?
Wenn sich V nun doch bewegt, wie muss ich mir die Geschwindigkeit in Richtung V vorstellen? Soll sich immer die Richtung von U ändern? Welche Geschwindigkeit ist denn dann angegeben? Die von U beim Start im rotierenden System, oder wie?
Noch bin ich etwas verwirrt über die gegeben Angaben. Vielleicht kannst du dazu noch was schreiben.
Viel Erfolg,
Roland.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Fr 20.11.2009 | | Autor: | statler |
Hallo,
ich habe mir das so vorgestellt, daß auf einer festen Tischplatte ein Käfer mit konstanter Geschwindigkeit - also Betrag der Geschwindigkeit ist konstant, Richtung natürlich nicht - auf einem Kreis krabbelt. Vom Kreismittelpunkt krabbelt ein anderer Käfer mit ebenfalls dem Betrage nach konstanter Geschwindigkeit immer in Richtung des peripheren Käfers. Und die Geschwindigkeiten sind konsant in einem mit der Tischplatte fest verbundenen Koordinatensystem.
Im rotierenden System würde ja der periphere Käfer ruhen und der andere geradewegs auf ihn zu marschieren. Das wär ja kein echtes Problem.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:16 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich habe mir das so vorgestellt, dass auf einer festen
> Tischplatte ein Käfer mit konstanter Geschwindigkeit
> auf einem Kreis krabbelt.
> Vom Kreismittelpunkt krabbelt ein anderer Käfer mit ebenfalls
> dem Betrage nach konstanter Geschwindigkeit immer in
> Richtung des peripheren Käfers.
Ja, genau das war gemeint.
> Im rotierenden System würde ja der periphere Käfer ruhen
> und der andere geradewegs auf ihn zu marschieren.
So könnte man es natürlich auch ausdrücken.
> Das wär ja kein echtes Problem.
Ich war sehr erstaunt, dass das im Prinzip so einfach war und leduart das so schnell gelöst hatte.
Wie ich überhaupt auf die Aufgabe gekommen war, das hatte einen soziologischen(?) Hintergrund:
Die meisten Menschen haben bestimmte Ziele in ihrem Leben, auf die sie zusteuern. Was aber passiert, wenn sich diese Ziele dauernd ändern? Wenn einem heute dieses und morgen jenes wichtig ist? Kann man dann überhaupt "Erfolg" im Leben haben? Oder muss man nur ausreichend schnell sein, um seine Ziele zu erreichen, bevor sie wieder uninteressant geworden sind?
Genau das wollte ich simulieren. Und dann fragte ich mich, ob man so etwas auch mathematisch errechnen könnte...
(Die Menschen entsprechen dabei dem inneren Käfer U, die Ziele dem äüßeren Käfer V)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Dieter
ohne die Dgl zu lösen, kann ich den Weg bis zum "Gleichgewichtskreis" nicht sagen. im Bsp u=v/2 . [mm] r_u=r_v/2 [/mm] wenn etwa bei t=0 die äussere Kugel bei [mm] \phi=\pi/3 [/mm] ist, die Innere bei [mm] \phi=0 [/mm] dann zeigt die Tangente an den inneren Kreis (r/2 grade senkrecht nach oben auf die äussere Kugel. Wenn sich beide mit derselben Winkelgeschw. bewegen, bleibt das immer so. Also läuft der arme innere Käfer weiter auf seinem Kreis.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:55 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> > Bei u=v hatte die Kugel U bereits nach 80° die Kugel V erreicht.
>
> Kann das sein? Das widerspricht meinem Bauchgefühl, da die
> Kugel, die vom MP kommt, einen längeren Weg zu haben scheint.
Ich hatte mich vertan. Die innere Kugel läuft rund 11% schneller als die äußere. Auf meiner Zeichnung konnte ich das nicht ersehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:49 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Sorry leduart, ich hatte mich ein wenig verschätzt.
Mein Kreis hatte einen Radius von 5 cm. Bei einer Gradeinteilung von 10° sind die Punkte dann
[mm] \bruch{2*5*10*\pi}{360} [/mm] cm [mm] \approx [/mm] 0.873 cm
auf der Bogenlinie voneinander entfernt. Irrtümlicherweise war ich von 1 cm ausgegangen.
Somit war in meinem ersten Fall u>v und in meinem zweiten Fall u=0.57v
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