Bew. lineare Abhängigk./Unabhä < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Niente |
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe gar nicht verstanden:
(a) Gegeben seine n+a [mm] (n\in \IN) [/mm] linear abhängige differenzierbare Funktionen [mm] f_{0}, f_{1}, [/mm] ... [mm] f_{n} \in [/mm] Abb [mm] (\IR, \IR). [/mm] Zeigen Sie: Für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist das (n+1) Tupel
[mm] (f_{0}(x), f_{0}'(x), [/mm] ..., [mm] f_{0}^{n}(x)), [/mm] ... [mm] (f_{n}(x), f_{n}'(x), [/mm] ..., [mm] f_{n}^_{n} [/mm] (x)) von Vektoren des [mm] \IR^{n+1} [/mm] linear abhängig.
Wenn die Funktionen linear abhängig ist, lässt sich die Nullabbildung mit Koeffizienten ungleich Null erzeugen. Also
[mm] \lambda_{0} f_{0}(x) [/mm] + [mm] \lambda_{1} f_{1}(x) [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n} f_{n}(x) [/mm] = 0 , wobei [mm] \lambda_{0}, \lambda_{1},..., \lambda_{n} \not= [/mm] 0 sein koennen.
Wie kann ich denn jetzt zeigen, dass die Ableitung der Linearkombinationen auch gleich die Nullabbildung ergibt? Wie leite ich hier ab und wie weiß ich, dass das Resultat dann auch linear abhängig ist?? Unser Tutor hat erwähnt, dass wir mit "Die (n+1)'ste Ableitung einer Funktion ist die Ableitung der n'ten Ableitung der Funktion" arbeiten müssen... ich kann damit aber nichts anfangen und komme einfach nicht voran;(;(
in (b) Wir definieren [mm] f_{0}, f_{1}, [/mm] ... [mm] f_{n} [/mm] aus [mm] Abb(\IR \IR) [/mm] durch [mm] f_{0}(x)
[/mm]
= [mm] x^{i} [/mm] fuer i [mm] \in [/mm] {1, ...,n}. Zeigen Sie, dass [mm] (f_{0}, f_{1}, [/mm] ... [mm] f_{n}) [/mm] linear unabhaengig sind.
Ich weiss auch hier nicht, was ich machen muss...man! Ich verstehe das alles nicht. Ich hoffe, mir kann jemand helfen.Vielen Dank schon einmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Niente!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> (a) Gegeben seine n+a $ [mm] (n\in \IN) [/mm] $ linear abhängige differenzierbare Funktionen $ [mm] f_{0}, f_{1}, [/mm] $ ... $ [mm] f_{n} \in [/mm] $ Abb $ [mm] (\IR, \IR). [/mm] $ Zeigen Sie: Für alle x $ [mm] \in \IR [/mm] $ ist das (n+1) Tupel
> $ [mm] (f_{0}(x), f_{0}'(x), [/mm] $ ..., $ [mm] f_{0}^{n}(x)), [/mm] $ ... $ [mm] (f_{n}(x), f_{n}'(x), [/mm] $ ..., $ [mm] f_{n}^_{n} [/mm] $ (x)) von Vektoren des $ [mm] \IR^{n+1} [/mm] $ linear abhängig.
> Wenn die Funktionen linear abhängig ist, lässt sich die Nullabbildung mit Koeffizienten ungleich Null erzeugen. Also
> $ [mm] \lambda_{0} f_{0}(x) [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{1} f_{1}(x) [/mm] $ + ... + $ [mm] \lambda_{n} f_{n}(x) [/mm] $ = 0 , wobei $ [mm] \lambda_{0}, \lambda_{1},..., \lambda_{n} \not= [/mm] $ 0 sein koennen.
Fast richtig! Die [mm] $\lambda_i$ [/mm] können nicht alle [mm] $\neq [/mm] 0$ sein, es muss wenigstens eines unter ihnen geben, welches von Null verschieden ist. Genau dann spricht man von einer nichttrivialen Linearkombination des Nullvektors, über welche die lineare Abhängigkeit definiert ist. Ansonsten stimmt dein Ansatz aber schon ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
> Wie kann ich denn jetzt zeigen, dass die Ableitung der Linearkombinationen auch gleich die Nullabbildung ergibt?
Die Funktion [mm] $\summe \lambda_i f_i$ [/mm] ist die Nullabbildung. Die Nullabbildung ist beliebig oft differenzierbar und stimmt mit ihren Ableitungen überein. Es ist also auch [mm] $(\summe \lambda_i f_i)'=0$. [/mm] Da die [mm] $f_i$ [/mm] differenzierbar sind, kannst du die Funktion gliedweise differenzieren, d.h. wir erhalten [mm] $\summe \lamba_i f_i' [/mm] = 0$. Diese Funktion können wir nun wieder ableiten und da auch die [mm] $f_i'$ [/mm] differenzierbar sind (das genau meint die Aussage: die [mm] $f_i$ [/mm] sind $n$-fach differenzierbar; man kann $n$ mal die Bildung der Ableitung ausgehend von der Funktion [mm] $f_i$ [/mm] durchführen) und wir erhalten analog [mm] $\sum \lambda_i f_i'' [/mm] = 0$. Allgemein erhalten wir durch wiederholtes differenzieren die Gleichungen
[mm] $\sum \lambda_i f_i [/mm] = 0$
[mm] $\sum \lambda_i f_i' [/mm] = 0$
[mm] $\sum \lambda_i f_i'' [/mm] = 0$
...
[mm] $\sum \lambda_i f_i^{(n)} [/mm] = 0$.
Und das bedeutet nichts weiter als [mm] $\sum \lambda_i\vektor{f_i\\ f_i'\\ \vdots \\ f_i^{(n)}}=0$, [/mm] sprich die lineare Abhängigkeit von [mm] $\vektor{f_i\\ f_i'\\ \vdots \\ f_i^{(n)}}$.
[/mm]
Klar?
> in (b) Wir definieren $ [mm] f_{0}, f_{1}, [/mm] $ ... $ [mm] f_{n} [/mm] $ aus $ [mm] Abb(\IR \IR) [/mm] $ durch $ [mm] f_{0}(x) [/mm] $
> = $ [mm] x^{i} [/mm] $ fuer i $ [mm] \in [/mm] $ {1, ...,n}. Zeigen Sie, dass $ [mm] (f_{0}, f_{1}, [/mm] $ ... $ [mm] f_{n}) [/mm] $ linear unabhaengig sind.
> Ich weiss auch hier nicht, was ich machen muss...man! Ich verstehe das alles nicht. Ich hoffe, mir kann jemand helfen.Vielen Dank schon einmal
Wenn du zeigen sollst, dass eine Menge von Vektoren linear unabhängig ist, ist es oft ein einfacher aber erfolgreicher Ansatz, eine beliebige Linearkombination des Nullvektors zu betrachten und daraus abzuleiten, dass diese Linearkombination des Nullvektors trivial sein muss, d.h. die Koeffizienten allesamt 0 sind.
In diesem Falle nehmen wir also an, dass es Koeffizienten [mm] $\lambda_i\in\IR, [/mm] i=0,1,2,...,n$ mit [mm] $\lambda_n\cdot f_n [/mm] + [mm] \lambda_{n-1} f_{n-1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_1 f_1+\lambda_0 f_0=0$ [/mm] gibt. Dann ist also [mm] $(\lambda_n\cdot f_n [/mm] + [mm] \lambda_{n-1} f_{n-1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_1 f_1+\lambda_0 f_0)(x)=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$, [/mm] also [mm] $\lambda_n x^n [/mm] + [mm] \lambda_{n-1} x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_1 [/mm] x + [mm] \lambda_0=0$ [/mm] gilt. Dann ist also [mm] $\sum \lambda_i x^i$ [/mm] ein Polynom mit unendlich vielen Nullstellen; das kann nur das Nullpolynom sein, d.h. wir haben [mm] $\lambda_i=0$ [/mm] für alle [mm] $i\in \{0,1,...,n\}$. [/mm] Damit ist die Linearkombination trivial und die [mm] $f_i$ [/mm] linear unabhängig.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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