Bew. Abzählbarkeit, isol. Pkt. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Do 01.12.2011 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe 1 | | i)Sei I eine Menge und für jedes i [mm] \in [/mm] I sei eine nicht-leere, offene Menge [mm] U_i \subset \IR [/mm] gegeben. Für alle i, j [mm] \in [/mm] I mit i [mm] \not= [/mm] j gelte [mm] U_i \cap U_j [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Zeigen Sie, dass I abzählbar ist. |
| Aufgabe 2 | | ii) Sei M [mm] \subset \IR [/mm] mit der Eigenschaft, dass M nur aus isolierten Punkten besteht. Zeigen Sie, dass dann M bereits abzählbar ist. |
Hallo zusammen,
ich verzweifel hier gerade an der oben angegeben Aufgabe. Ich tu mich verdammt schwer, was solche "Mini"beweise betrifft und komme dabei leider meist nie auf einen grünen Zweig...
Zusätzlich habe ich auch kleinere Probleme mit der Abzählbarkeit...
Zum ersten Aufgabenteil haben ich überhaupt keine Ahnung wie ich ansetzen könnte. Allerdings habe ich mir überlegt, dass man den ersten Aufgabenteil irgendwie für den zweiten benutzen könnte.
Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
- [mm] x_0 \in [/mm] M, der kein HP von M ist, ist isolierter Punkt von M, also besitzt M keine Häufungspunkte
- x ist Häufungspunkt bedeutet wiederum, dass in jeder Umgebung von x unendl. viele Pkt. von M liegen
Der Schnitt aus der Menge der isolierten Punkte und ihrem Komplement ist die leere Menge => M ist nicht- leer und offen
Da M abgeschlossen ist, ist [mm] M^C [/mm] offen...
Ich bekomme all diese Einzelüberlegungen allerdings nicht so verknüpft, dass ich die Aussage zeigen könnte...
Kann mir jemand helfen bzw. mir erklären, wie ich vorgehen könnte...?!
Liebe Grüße und vielen Dank schonmal im Voraus,
Pia
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Im ersten Teil kannst du argumentieren, dass jedes [mm] $U_i$ [/mm] (mindestens) eine rationale Zahl enthalten muss.
Im zweiten Teil kannst du zu jedem [mm] $x_i\in [/mm] M$ eine in [mm] $\IR$ [/mm] offene Umgebung [mm] $U_i$ [/mm] betrachten, sodass für [mm] $x_i\ne x_j$ [/mm] gilt [mm] $U_i\cap U_j=\emptyset$
[/mm]
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