Beugung/Fouriertransformation < Optik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:35 So 14.11.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Die Fourieroptik kommt zu folgenden wichtigen Aussagen: "Die Feldverteilung des Beugunsmusters bei der Fraunhoferschen Beugung an einer Öffnung ist die Fouriertransformierte der Feldverteilung über die beugende Öffnung."
Berechnen Sie das Beugungsmuster eines Einzelspaltes als Fouriertransformierte der Spaltfunktion f mit:
$f(y)=1 $ für [mm] $|y|\le \frac{d}{2}$ [/mm] und $f(y) = 0$ für $|y| > [mm] \frac{d}{2}$
[/mm]
Berechnen Sie aus der so erhaltenen Feldverteilung die Intensität und substituieren Sie $k = [mm] k_{0} sin(\alpha) [/mm] = [mm] \frac{2\pi}{\lambda}sin(\alpha)$ [/mm] um die Intensität in Richtung [mm] $\alpha$ [/mm] ablesen zu können. |
Hallo,
ich habe zunächst ein ganz generelles Verständnisproblem. Wie kommt man zu der Aussage, dass die Fouriertransformierte der Feldverteilung am Spalt irgendetwas mit dem Beugungsmuster zu tun hat. Eigentlich handelt es sich bei den Fouriertransformierten doch um "Vorfaktoren" zu den Basisvektoren des Funktionenraumes, bezüglich denen ich die zu transformierende Funktion nach der Transformation darstellen möchte. Ich sehe da irgendwie keine Verbindung. Kann man das irgendwie leicht einsehen oder hat jemand eine Ahnung wo man das nachlesen könnte? Finde dazu in meinen Ex-Büchern nämlich nichts.
Zur Aufgabe konkret:
Die Fouriertransformierte ist gegeben durch [mm] $F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-iky}dy$
[/mm]
Also speziell für die gegebene Funktion F:
[mm] $F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-iky}dy$
[/mm]
$= [mm] \int_{-1}^{1}e^{-iky}dy$
[/mm]
$= [mm] -\frac{1}{ik}\left(e^{-ik}-e^{ik}\right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{ik}\left(e^{ik}-e^{-ik}\right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{2}{k}sin(k)$
[/mm]
Damit erhalte ich für die Intensität:
$I(k) = [mm] F(k)^2 [/mm] = [mm] \frac{4}{k^2}sin^2(k)$
[/mm]
Nun kann ich für $k$ die in der Aufgabenstellung gegebene Beziehung einsetzen:
$I(k) = [mm] \frac{4}{k^2}sin^2(k) [/mm] = [mm] \frac{4}{\left(\frac{2\pi}{\lambda}sin(\alpha)\right)^2}sin^2\left(\frac{2\pi}{\lambda}sin(\alpha)\right) [/mm] = [mm] \frac{\lambda^2}{\pi^2sin(\alpha)}sin^2\left(\frac{2\pi}{\lambda}sin(\alpha)\right)$
[/mm]
Stimmt das soweit?
Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 16.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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