Betragsungleichung - Fälle < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe 1)
[mm] \bruch{|2x-2|}{2x+2}<2
[/mm]
Ich komme bei den Aufgabe mit den Fällen -- und -+ nicht klar da ich nicht weiss wie ich den betrag minus setzen soll
wenn ich in Aufgabe1) 2x-2 nicht mal (-1)rechne, bekomme ich das ergebniss was in meinem löser steht
Fall 2 (--) schaut also dann so aus
[mm] \bruch{2x-2}{-2x-2}<2
[/mm]
jetzt zu einer anderen aufgabe2)
[mm] |2x-4|\le|3x+9|
[/mm]
hier steht in meine löser der Fall2 (--) so
[mm] -2x+4\le-3x-9
[/mm]
diese beide Aufgaben haben mich verwirt ich weiss jetzt nicht was richtig ist einmal wird im fall(--) der betrag nicht multipliziert und das andere mal ja
was ist da los?
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Hi, Johnny,
> Aufgabe 1)
> [mm]\bruch{|2x-2|}{2x+2}<2[/mm]
>
> Ich komme bei den Aufgabe mit den Fällen -- und -+ nicht
> klar da ich nicht weiss wie ich den betrag minus setzen soll.
Zunächst würd' ich den Betrag auflösen:
1. Fall: x [mm] \ge [/mm] 1 (=> |2x - 2| = 2x - 2)
Jetzt musst Du "nur noch" die Ungleichung
[mm] \bruch{2x - 2}{2x+2}< [/mm] 2 lösen.
Schaffst Du das?
(Achtung: Wenn x [mm] \ge [/mm] 1 ist, ist auch der Nenner positiv!)
2. Fall: x < 1 (=> |2x - 2| = -2x + 2)
Diesmal musst Du die Ungl. lösen:
[mm] \bruch{-2x + 2}{2x+2}< [/mm] 2
Die ist schwieriger, weil für x < 1 der Nenner positiv (-1 < x < 1)
aber auch negativ (x < -1) sein kann: Sozusagen "Fallunterscheidung" innerhalb der Fallunterscheidung!
Rechne das erst mal aus - dann sehen wir weiter!
mfG!
Zwerglein
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Ergebnis
Fall 1: x>-3
Fall 2: x>-1/3
hoffe das stimmt
aber zu Fall 2 bei 0 wäre der Nenner aber auch noch positiv
das hier verstehe ich nicht
> Zunächst würd' ich den Betrag auflösen:
>
> 1. Fall: x [mm]\ge[/mm] 1 (=> |2x - 2| = 2x - 2)
> 2. Fall: x < 1 (=> |2x - 2| = -2x + 2)
kann man einfach die bruchstriche weglassen und das als term behandeln
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Nein, da wurde einfach mit dem Nenner auf beiden Seiten durchmultipliziert, dann kürzt er sich links weg.
Allerdings, multipliziert man mit was negativem, so kehrt sich das Ungleichheitszeichen um!
Das heißt, alleine das erzeugt 2 Fälle, weil du das Vorzeichen des Zählers nicht kennst.
Jetzt mußt du noch die Betragsstriche auflösen, was jeweils 2 Fälle macht, also hast du hier insgesamt ganze 4 Fälle!!!
Allerdings hat mein Vorredner oben den Faktor 2 vergessen.
Du hast insgesamt folgende Fälle:
+(2x-2) < +2*(-2x-2)
+(2x-2) < -2*(-2x-2)
-(2x-2) < +2*(-2x-2)
-(2x-2) < -2*(-2x-2)
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habe irgentwie immernoch eine denkfehler
ich poste mal meine rechnung bezogen nur auf Fall --
Grundbereich
R \ {-1}
Def:
|2x-2|(-1)
[mm] -2x+2\ge0
[/mm]
[mm] x\le1
[/mm]
2x+2(-1)
-2x-2>0
x<-1
also Definitionsbereich [mm] x\le1 [/mm] und x<-1
Rechnung
[mm] \bruch{|2x-2|}{(-1)(2x+2)}<2
[/mm]
[mm] \bruch{2x-2}{-2x-2}<2
[/mm]
2x-2<-4x-4
6x<-2
x<-2/6
Wenn diese Lösung für Fall 3 stimmt, dann frage ich mich wieso habe ich beim Fall -- nicht den Betrag im Zähler mal minus 1 multipliziert und wie erkenne das.
Vielleich am Definitionsbereich. Muss man bei Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner die Zeichen < > drehen also bei Division mit - muss man drehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hallo,
ich versuche dir mal eine Methode zum Lösen solchen Ungleichungen zeigen.
Erst mal bei der Ungleichungen mit dem Betrag muss man die Definition des Betrages verwenden.
[mm] x=\begin{cases} x, x>=0 \\ -x, x<0 \end{cases}
[/mm]
D.h. für die erste Aufgabe:
1. Fall [mm] \bruch{2x-2}{2x+2}<2, [/mm] bei x>=1
2.Fall [mm] \bruch{2-2x}{2x+2}<2, [/mm] bei x<1
1.Fall:
Links 2 im Zähler und Nenner ausklammern und kürzen:
[mm] \bruch{x-1}{x+1}<2
[/mm]
2 nach links, rechts 0
[mm] \bruch{x-1}{x+1}- [/mm] 2 <0
Zum gemeinsamen Nenner :
[mm] \bruch{-x-3}{x+1}<0
[/mm]
Mal (-1):
[mm] \bruch{x+3}{x+1}>0
[/mm]
So. Jetzt verwende ich so genante Intervallmethode. Sie spart viel Zeit.
Leider kann hier nicht zeichnen.
Auf der Zahlengerade platziere ich die Werte bei denen Zähler und Nenner gleich 0 sind. In diesem Fall -3 und -1. Die Zahlengerade wird durch dieser zwei Werte in drei Bereiche geteilt.
1. von -unendlich bis -3
2. von -3 bis -1
3. von -1 bis +unendlich
Nun untersuche ich das Vorzeichen des Bruches auf jedem Bereich.
Ich nehme eine Zahl aus dem jeweiligen Bereich und setze in Bruch ein.
1. Bereich (-4), ergibt beim Einsetzen positiv
2. Bereich (-2), ergibt negativ
3.Bereich 0, ergibt positiv
Da in der Ungleichung >0 steht, nehme ich nur die positive Bereiche als mögliche Lösung (1 und 3). Achtung: die Grenzwerte! (-1) gehört auf keinen Fall zu Lösung, da Nenner darf nicht 0 sein. -3 gehört auch nicht, da in der Ungleichung streng größer steht.
Und jetzt noch die Lösung beschränken, da Definitionsbereich x>=1 ist.
Also die Schnittmenge Lösungen mit Definitionsbereich ist x>=1
2.Fall nach gleichen Muster lösen
Am Ende kriegst Du drei Bereiche, von denen zwei als Lösung in Frage kommen:
1. von - unendlich bis -1
2. von -1/3 bis +unendlich
Die Schnittmenge mit Definitionsbereich ergibt die Lösung x<-1 und
1/3<x<1
Als letzte die Lösungen von beiden Fällen verknüpfen x<-1 und 1/3<x<1 und x>=1
Ergibt: x<-1 und x>1/3
Hoffentlich ist das verständlich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Mary,
eigentlich alles richtig bis auf ein "verseppeltes" Vorzeichen kurz vor Schluss:
> 2.Fall nach gleichen Muster lösen
>
> Am Ende kriegst Du drei Bereiche, von denen zwei als Lösung
> in Frage kommen:
> 1. von - unendlich bis -1
> 2. von -1/3 bis +unendlich
>
> Die Schnittmenge mit Definitionsbereich ergibt die Lösung
> x<-1 und 1/3<x<1
Hier muss es heißen: - 1/3 < x < 1
> Als letzte die Lösungen von beiden Fällen verknüpfen x<-1
> und 1/3<x<1 und x>=1
> Ergibt: x<-1 und x>1/3
Und damit natürlich auch hier: x > -1/3
Übrigens kann man die Gesamtlösungsmenge auch in folgender Form schreiben:
L = [mm] \IR [/mm] \ [-1; -1/3]
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
Danke! :)
Klar, habe ich den Minus verloren. War wahrscheinlich zu müde am Mitternacht. :)
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Danke Mary für diese ausführliche Hilfe
das mit einzeichnen in den Zahlenstrahl ist mir noch nicht ganz klar
gerade was Fall zwei angeht
ich habe den 2 Fall mal durchgerechnet
2.Fall [mm]\bruch{2-2x}{2x+2}<2,[/mm] bei x<1
nach umformen bekomme ich
[mm] \bruch{-3x-1}{x+1}<0
[/mm]
jetzt mal mal (-1) den Zähler
bin mir hier aber nicht so sicher warum ich den mal -1 nehmen soll
beziehe mich hier nur auf das Muster
[mm] \bruch{3x+1}{x+1}<0
[/mm]
jetzt such ich die Werte bei den Zähler und Nenner Null werden
also bei -1 und -1/3
trage das ganze in einen Zahlenstrahl ein, habe also 3 Bereiche
jetzt setze ich in [mm] \bruch{3x+1}{x+1}<0 [/mm] ein -2 wird + ; -0,5 wird - ; 0 wird +
jetzt komm ich nicht ganz weiter die werte müssen links kleiner werden als Null
also muss ich doch hier den Bereich auswählen wo es negativ ist also -1 bis -1/3
das passt nicht mit dem
Am Ende kriegst Du drei Bereiche, von denen zwei als Lösung in Frage kommen:
1. von - unendlich bis -1
2. von -1/3 bis +unendlich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 27.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht genau gelesen:
Wenn man eine Ungleichung mit ner negativen Zahl multipliziert, dreht sich das Ungleichheitszeichen um:
1<2 darau -1>-2!
> ich habe den 2 Fall mal durchgerechnet
> 2.Fall [mm]\bruch{2-2x}{2x+2}<2,[/mm] bei x<1
> nach umformen bekomme ich
> [mm]\bruch{-3x-1}{x+1}<0[/mm]
> jetzt mal mal (-1) den Zähler
> bin mir hier aber nicht so sicher warum ich den mal -1
> nehmen soll
du musst nicht, aber meist ist es einfacher mit pos. Termen zu rechnen!
> beziehe mich hier nur auf das Muster
> [mm]\bruch{3x+1}{x+1}<0[/mm]
im Muster war es richtig:
[mm]\bruch{3x+1}{x+1}>0[/mm]
dadurch ist dein Rest falsch.
Das mit dem zahlenstrahl:
du suchst die Werte, wo Z und N negativ sind, folgt Bruch pos.
Z und Nenner pos folgt bruch pos.
Z und N verschiedenes vorzeichen: Bruch neg.
bei den Nullstellen aender Z oder N das Vorzeichen.
Gruss leduart
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