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Huhu Leute
Ich habe im Moment Ungleichungen als Thema...jetzt kamen da auch Betragsungleichungen. Diese wurden uns jedoch nie erklärt, wie man solche löst.
Hier ein Beispiel:
|x-4|>7
Ich habe mir dann gedacht...ja, man könnte da so was aufstellen:
x-4 > 7
x-4 < -7
Jetzt habe ich da Lösungen, die machen da irgendwie eine Fallunterscheidung in Bezug auf 0...
Wie löst man denn grundsätzlich eine solche Aufgabe?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Grüsse Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Fr 23.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Nicole
Das Problem an der Betragsfunktion ist die Definition
[mm] |x|=\begin{cases}x,&\mbox{für}x\ge0\\-x&\mbox{für}x<0\end{cases}
[/mm]
Also musst du eine Fallunterscheidung machen, für den Teilterm innerhalb des Betrages, hier: x-4
Fall1:
[mm] x-4\ge0 [/mm] , also [mm] x\ge4
[/mm]
Dann wird
|x-4|>7
[mm] \gdw [/mm] x-4>7
[mm] \gdw [/mm] x>11
Also ist hier die Lösung x>11, damit auch x>4, wie in der Fallunterscheidung.
Fall2
x-4<0
[mm] \gdw [/mm] x<4
Dann wird
|x-4|>7
[mm] \gdw [/mm] -(x-4)>7
[mm] \gdw [/mm] -x+4>7
[mm] \gdw [/mm] -x>3
[mm] \gdw x\red{>}-3
[/mm]
Also ist hier die Lösung:
-3<x<4
Jetzt musst du beide Lösungen der Fälle zu einer Gesamtlösung vereinigen.
Marius
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Hallo Marius,
du hast hier nen Dreher drin:
>
> Fall2
> x-4<0
> [mm]\gdw[/mm] x<4
>
> Dann wird
> |x-4|>7
> [mm]\gdw[/mm] -(x-4)>7
> [mm]\gdw[/mm] -x+4>7
> [mm]\gdw[/mm] -x>3
> [mm]\gdw x\red{>}-3[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier ist es [mm] $x\, \blue{<} [/mm] -3$
>
> Also ist hier die Lösung:
>
> -3<x<4
Also [mm] $\mathbb{L}=(-\infty,-3)$ [/mm] für den 2.Fall
>
> Jetzt musst du beide Lösungen der Fälle zu einer
> Gesamtlösung vereinigen.
>
> Marius
LG
schachuzipus
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Jep ok, aber durch die Vereinigung der beiden Lösungsmengen, fällt ja schlussendlich diese Grenze bei 0 sowieso weg, bzw. wird beinhaltet...wieso dann noch bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole!
> Jep ok, aber durch die Vereinigung der beiden
> Lösungsmengen, fällt ja schlussendlich diese Grenze bei 0
> sowieso weg, bzw. wird beinhaltet...wieso dann noch
> bestimmen?
Erstens stimmt das so ja nicht. Die Grenze liegt ja bei [mm]x-4=0[/mm], also x=4. Deine Lösungsmenge ist die Vereinigung der Lösungsmengen der Einzelfälle, also [mm](-\infty,-3) \cup (11,+\infty)[/mm]. Da ist x=4 nicht drin.
Ganz allgemein gesprochen weisst du es vorher nicht; du hast nur deine Betragsungleichung. Daher musst du es immer prüfen.
Viele Grüße
Rainer
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Ich denke jedoch, dass es sicherlich vorkommen kann, dass die Lösungsmenge dann vielleicht nicht ihm definierten Bereich (bei der Fallbestimmung) drin ist oder?
Danke für deine Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole!
> Ich denke jedoch, dass es sicherlich vorkommen kann, dass
> die Lösungsmenge dann vielleicht nicht ihm definierten
> Bereich (bei der Fallbestimmung) drin ist oder?
Ja, das kann vorkommen.
Viele Grüße
Rainer
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