Betragsungleichung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen sie folgende Ungleichungen und skizzieren Sie den Sachverhalt!
|x+2| [mm] \ge [/mm] 1/2|x-1| |
Ich soll oben genannte Ungleichung lösen und hab dazu erstmal die Fälle ermittelt:
|x+2| [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge [/mm] -2
|x-1| [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge [/mm] 1
-> möglich (blaue Linien)
|x+2| [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge [/mm] -2
|x-1| [mm] \le [/mm] 0 -> x [mm] \le [/mm] 1
-> möglich (grüne Linien)
|x+2| [mm] \le [/mm] 0 -> x [mm] \le [/mm] -2
|x-1| [mm] \le [/mm] 0 -> x [mm] \le [/mm] 1
-> möglich (rote Linien)
|x+2| [mm] \le [/mm] 0 -> x [mm] \le [/mm] -2
|x-1| [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge [/mm] 1
-> nicht möglich
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daraufhin ergeben sich folgende Fälle:
1. Fall: [mm] (-\infty;-2)
[/mm]
-(x+2) [mm] \ge [/mm] -1/2(x-1) -> x [mm] \le [/mm] -5
2. Fall: [-2;1]
(x+2) [mm] \ge [/mm] -1/2(x-1) -> x [mm] \ge [/mm] -1
3. Fall: [mm] (1;+\infty)
[/mm]
(x+2) [mm] \ge [/mm] 1/2(x-1) -> x [mm] \ge [/mm] -5
Daraufhin habe ich die -5 als Lösung ausgeschlossen, weil es ja unmöglich ist, dass die Lösung [mm] \ge [/mm] -5 ist und gleichzeitig [mm] \le [/mm] -5.
Nun steht aber in der Lösung, dass auch die -1 als Lösung ausgeschlossen ist. Das würde ja nur gehen, wenn die -1 beim 2. Fall rauskommen würde, da also das Minuszeichen vor den ersten Betrag gesetzt wird und nicht vor den zweiten: -(x+2) [mm] \ge [/mm] 1/2(x-1) -> x [mm] \le [/mm] -1
Aber warum ist das so und wie entscheidet sich, wann vor welchen Betrag -1 geschrieben wird?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Do 17.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
Du hast in Deinen Fallunterscheidungen z.B. den Fall $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ 1$ doppelt vertreten.
Wenn Du im ersten Fall (völlig richtig) ansetzt $x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 1$ , darfst Du im 2. Fall lediglich $x \ [mm] \red{<} [/mm] \ 1$ berücksichtigen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
vielen Dank für deine Antwort. Leider versteh ich immernoch nicht, wie sich nun entscheidet, vor welchen Betrag ich wann das Minuszeichen setze.
Beim ersten Fall habe ich vor jeden Betrag ein Minus gesetzt, weil alles im negativen Bereich liegt. Beim 3. Fall hab ich vor keinen Betrag ein Minus gesetzt, weil alles im positiven Bereich liegt.
Wie ist das aber nun im zweiten Fall, da liegen die Beträge ja in beiden Bereichen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Fr 18.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier mal die Definition der Betragsfunktion:
[mm] |x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\ge0 \\ -x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
Also: immer dann, wenn der Term innerhalb der Betrgsstriche negativ wird, setze stattdessen eine Minusklammer, ist der Term grösser oder gleich Null, kannst du sie "wegfallen" lassen.
Also hier:
[mm] |x+2|=\begin{cases} x+2, & \mbox{für } x+2\ge0 \\ -(x+2), & \mbox{für } x+2<0 \end{cases}
[/mm]
Marius
|
|
|
|
