Betragsungl.beweis mit Axiomen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Fr 22.10.2004 | | Autor: | renguard |
HI, habe folgende Aufgabe gerechnet, da ich in diesem Thema nicht sicher bin bitte ich um Lesekorrektur.
Es geht um einen Beweis mit Hilfe von Axiomen.
Zeigen Sie: Für x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] \bruch{x+y}{1+ \vmat{ x+y }} \le \bruch{ \vmat{ x }}{1+ \vmat{ x }} [/mm] + [mm] \bruch{ \vmat{y}}{1+ \vmat{ y}}
[/mm]
Fallunterscheidung
1.Fall x,y>0
2.Fall x,y<0
3.Fall y<0<x
4.Fall x<0<y
1.Fall
[mm] \bruch{x+y}{1+x+y} \le \bruch{x}{1+x} [/mm] + [mm] \bruch{y}{1+y} [/mm] ,Multiplikation mit 1+x>0 und 1+y>0, Distributiv Multipliziert
[mm] \Leftarrow \bruch{x+y}{1+x+y} \le \bruch{x+y+2xy}{1+x+y+xy} [/mm] ,Multiplikation mit 1+x+y+xy>0 und 1+x+y>0
[mm] \Leftarrow [/mm] (x+y)(1+x+y+xy) [mm] \le [/mm] (x+y+2xy)(1+x+y) , Distributiv Multipliziert
[mm] \Leftarrow x+x^{2}+2xy+x^{2}yxy^{2}+y+y^{2} \le x+x^{2}+4xy+2x^{2}y+2xy^{2}+y+y^{2} [/mm] Monotonie bezüglich Addition
[mm] \Leftarrow [/mm] 0 [mm] \le 2xy+x^{2}y+xy^{2}
[/mm]
Für den ersten Fal ist die Ungleichung erfüllt.
Mit den restlichen Fällen verfahre ich dann genauso.
Ist das so richtig??
Mfg und Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Fr 22.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
soweit ich das sehe stimmt das schon. du kannst sogar zwischen den zeilen stets äquivalenzpfeile machen, da du nur äquivalenzumformungen machst.
was du nicht vergessen solltets sind die fälle, dass [m] x = 0 [/m] oder [m] y = 0 [/m] sein könnten.
ansonsten kannst du auch den in diesem strang beschriebenen ansatz wählen, wenn du anmerkst, dass durch die betragstriche, die auf der linken seite hinzukommen die linke seite nur größer werden kann. das ist glaube ich dann weniger rechenaufwand.
grüße
andreas
ps wenn ihr das in direkter bezugnahme auf axiome lösen müsst, musst du angeben, welche axiome ihr verwenden dürft, sonst können wir dir nicht helfen.
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