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Betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Mi 17.08.2011
Autor: hula

Moinmoin

Wir sollen folgende Funktion untersuchen und eine Aussage über die Differenzierbarkeit in 0 finden:

[mm] f(x) = |x|^t,\forall t>1 \in \IR [/mm]

Wie oben bereits erwähnt ist ja die einzige kritische Stelle 0. Wenn ich diesen Grenzwert einmal hinschreibe:

[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t - 0^t}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x} [/mm]

Dann würde ich de L'Hôpital verwenden:

[mm] \limes_{x\rightarrow 0} t |x|^{t-1}\bruch{x}{|x|} [/mm]

Naja....jetzt würde ich wie folgt argumentieren: Der Bruch ist ja beschränkt, je nachdem ob ich von links oder rechts komme ist er -1 oder +1. Da $\ t > 1 $ strebt der vordere Teil gegen 0. Also ist die Funktion in 0 differenzierbar mit Ableitung 0. Stimmen mein Beweis, meine Argumentation?

greetz


hula

        
Bezug
Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Mi 17.08.2011
Autor: reverend

Moin Hula,

> Wir sollen folgende Funktion untersuchen und eine Aussage
> über die Differenzierbarkeit in 0 finden:
>  
> [mm]f(x) = |x|^t,\forall t>1 \in \IR[/mm]
>  
> Wie oben bereits erwähnt ist ja die einzige kritische
> Stelle 0. Wenn ich diesen Grenzwert einmal hinschreibe:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t - 0^t}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x}[/mm]
>  
> Dann würde ich de L'Hôpital verwenden:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} t |x|^{t-1}\bruch{x}{|x|}[/mm]

[ok]

> Naja....jetzt würde ich wie folgt argumentieren: Der Bruch
> ist ja beschränkt, je nachdem ob ich von links oder rechts
> komme ist er -1 oder +1. Da [mm]\ t > 1[/mm] strebt der vordere Teil
> gegen 0. Also ist die Funktion in 0 differenzierbar mit
> Ableitung 0. Stimmen mein Beweis, meine Argumentation?

Ja, sieht gut aus. [daumenhoch]

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:08 Mi 17.08.2011
Autor: chrisno

Ich frage, warum Du den Umweg über L' Hospital gehen musst. Kannst Du nicht direkt den Limes mit Fallunterscheidung für den Betrag betrachten?

Bezug
        
Bezug
Betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:15 Mi 17.08.2011
Autor: fred97


> Moinmoin
>  
> Wir sollen folgende Funktion untersuchen und eine Aussage
> über die Differenzierbarkeit in 0 finden:
>  
> [mm]f(x) = |x|^t,\forall t>1 \in \IR[/mm]
>  
> Wie oben bereits erwähnt ist ja die einzige kritische
> Stelle 0. Wenn ich diesen Grenzwert einmal hinschreibe:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t - 0^t}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x}[/mm]
>  
> Dann würde ich de L'Hôpital verwenden:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} t |x|^{t-1}\bruch{x}{|x|}[/mm]

Wie kommst Du dadrauf ??


Mach es so:  da t>1, ist t=s+1 mit s>0. Dann:

        [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^s*|x|}{x}= \bruch{|x|}{x}\limes_{x\rightarrow 0}|x|^s=0, [/mm]

denn [mm] \bruch{|x|}{x} [/mm] ist beschränkt.

FRED


>  
> Naja....jetzt würde ich wie folgt argumentieren: Der Bruch
> ist ja beschränkt, je nachdem ob ich von links oder rechts
> komme ist er -1 oder +1. Da [mm]\ t > 1[/mm] strebt der vordere Teil
> gegen 0. Also ist die Funktion in 0 differenzierbar mit
> Ableitung 0. Stimmen mein Beweis, meine Argumentation?
>
> greetz
>  
>
> hula


Bezug
                
Bezug
Betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:19 Mi 17.08.2011
Autor: reverend

Hallo Fred,

> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t - 0^t}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x}[/mm]
>  
> >  

> > Dann würde ich de L'Hôpital verwenden:
>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} t |x|^{t-1}\bruch{x}{|x|}[/mm]
>  
> Wie kommst Du dadrauf ??

Alles Ableitung des Zählers mit Kettenregel. [mm] \bruch{x}{|x|} [/mm] ist die Ableitung von |x|. Ist doch keine schlechte Idee, oder?

Grüße
reverend


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Betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Fr 19.08.2011
Autor: hula

Würde mich auch interessieren. Sind meine Überlegungen falsch? Die Ableitung der Betragsfunktion existiert ja ausser in 0. Aber den Fall will ich ja gerade behandeln.

greetz

hula

Bezug
                                
Bezug
Betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:09 Sa 20.08.2011
Autor: fred97


> Würde mich auch interessieren. Sind meine Überlegungen
> falsch?


Nein

FRED


> Die Ableitung der Betragsfunktion existiert ja
> ausser in 0. Aber den Fall will ich ja gerade behandeln.
>
> greetz
>  
> hula


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