Betrag, epsilon > 0 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 21.05.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \epsilon \in \IR, \epsilon [/mm] > 0. Zeige, dass es für alle z [mm] \in \IC [/mm] ein w [mm] \in \IQ [/mm] x [mm] \IQ \subset \IC [/mm] gibt, sodass |z-w| < [mm] \epsilon. [/mm] |
Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei dieser Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps dazu.
Viele Grüße und danke im Vorraus
|
|
| |
|
Hallo,
> Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt, sodass
> |z-w| < [mm]\epsilon.[/mm]
> Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei dieser
> Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps dazu.
Hm, da wäre es gut gewesen, du hättest deine Verständnisprobleme etwas konkretisiert. Das ist nämlich dermaßen einfach, dass man netwas ratlos dasteht ob deinem Ansatz-Mangel.
soll gezeigt werden, dass jede Zahl [mm] z\in\IC [/mm] bzw. jeder Punkt in der Gauß'schen Ebene eine Epsilon-Umgebung besitzt. In [mm] \IR [/mm] sind das ja Intervalle, in [mm] \IC [/mm] kann man sich diese Umgebungen als (beliebig) kleine Kreise um einen Punkt vorstellen. Du brauchst also im Prinzip nichts weiter zu tun als zu argumentieren, weshalb der Abstand zweier komplexer Zahlen beliebig klein sein kann...
EDIT: Ich hatte die Frage völlig falsch verstanden, und zwar weil ich um ehrlich zu sein beim Lesen nicht bei der Sache war. Sorry dafür, aber die nachfolgende Diskussion dürfte dir genügend wertvolle Hinweise geben!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 21.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
Für [mm] w\in\IC [/mm] ist Deine Antwort richtig.
Ich verstehe aber eine Notation in der Aufgabenstellung nicht:
> > Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> > alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt,
Hier.
Was heißt denn das [mm] \times [/mm] in der Angabe [mm] $w\in\IQ\times\IQ\subset\IC$?
[/mm]
Grüße
reverend
> Es soll gezeigt werden, dass jede Zahl [mm]z\in\IC[/mm] bzw. jeder
> Punkt in der Gauß'schen Ebene eine Epsilon-Umgebung
> besitzt. In [mm]\IR[/mm] sind das ja Intervalle, in [mm]\IC[/mm] kann man
> sich diese Umgebungen als (beliebig) kleine Kreise um einen
> Punkt vorstellen. Du brauchst also im Prinzip nichts weiter
> zu tun als zu argumentieren, weshalb der Abstand zweier
> komplexer Zahlen beliebig klein sein kann...
>
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> Für [mm]w\in\IC[/mm] ist Deine Antwort richtig.
> Ich verstehe aber eine Notation in der Aufgabenstellung
> nicht:
>
> > > Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> > > alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt,
>
> Hier.
> Was heißt denn das [mm]\times[/mm] in der Angabe
> [mm]w\in\IQ\times\IQ\subset\IC[/mm]?
ganz einfach: Es wird [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $\IR^2$ [/mm] identifiziert, dieser wiederum mit
[mm] $\IR \times \IR$, [/mm] und [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] ist dann klar, oder?
Man könnte es auch mit
[mm] $$\IQ [/mm] + [mm] i\cdot \IQ$$
[/mm]
schreiben, wenn man
[mm] $$\IC$$
[/mm]
mit
[mm] $$\IR +i*\IR$$
[/mm]
identifiziert!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Di 21.05.2013 | | Autor: | reverend |
Danke Marcel, diese Notation kannte ich so noch nicht.
lg,
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi reverend,
> Danke Marcel, diese Notation kannte ich so noch nicht.
gerne: Man hat ja sowieso viele Notationen für das kartesische Produkt.
Deswegen fasse ich den [mm] $\IR^n$ [/mm] auch am liebsten als
[mm] $$\{f: \{1,...,n\} \to \IR:\;\;f \text{ ist }Abbildung\}$$
[/mm]
auf. Da brauche ich mir keine Gedanken über Zeilenvektorschreibweise oder
Spaltenvektorschreibweise zu machen etc. pp.
Das erinnert mich an
diesen Artikel
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 21.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> > Danke Marcel, diese Notation kannte ich so noch nicht.
>
> gerne: Man hat ja sowieso viele Notationen für das
> kartesische Produkt.
Ja, leider. Hier hätte ich [mm] \IQ+i\IQ [/mm] verständlicher gefunden. Diese Notation hast du auch gerade benutzt.
> Deswegen fasse ich den [mm]\IR^n[/mm] auch am liebsten als
> [mm]\{f: \{1,...,n\} \to \IR:\;\;f \text{ ist }Abbildung\}[/mm]
>
> auf. Da brauche ich mir keine Gedanken über
> Zeilenvektorschreibweise oder
> Spaltenvektorschreibweise zu machen etc. pp.
>
> Das erinnert mich an
>
> diesen Artikel
Ja, guter Hinweis.
Danke nochmal!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi reverend,
> Hallo nochmal,
>
> > > Danke Marcel, diese Notation kannte ich so noch nicht.
> >
> > gerne: Man hat ja sowieso viele Notationen für das
> > kartesische Produkt.
>
> Ja, leider. Hier hätte ich [mm]\IQ+i\IQ[/mm] verständlicher
> gefunden. Diese Notation hast du auch gerade benutzt.
ja, ich hab' da so'n bisschen 'nen Mischmasch benutzt. Ich nehme an, dass
hier beim Fragesteller [mm] $\IC$ [/mm] direkt "als spezieller [mm] $\IR^2$ [/mm] bzw. [mm] $\IR \times \IR$" [/mm] definiert
worden ist - dann macht es mehr Sinn, in der Aufgabe [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] zu schreiben.
(Die Multiplikation auf [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] ist dann die Multiplikation, die auf [mm] $\IR \times \IR$ [/mm]
definiert ist, allerdings eingeschränkt auf [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] etc. pp.!)
Das ist alles so'n bisschen "Definitionssache". Ich halte mich halt nicht
wirklich nur strikt an deren Definitionen - wenn was unklar ist, soll er
halt nachfragen. 
> > Deswegen fasse ich den [mm]\IR^n[/mm] auch am liebsten als
> > [mm]\{f: \{1,...,n\} \to \IR:\;\;f \text{ ist }Abbildung\}[/mm]
>
> >
> > auf. Da brauche ich mir keine Gedanken über
> > Zeilenvektorschreibweise oder
> > Spaltenvektorschreibweise zu machen etc. pp.
> >
> > Das erinnert mich an
> >
> > diesen Artikel
>
> Ja, guter Hinweis.
> Danke nochmal!
Klar, kein Thema!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> > alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt,
> sodass
> > |z-w| < [mm]\epsilon.[/mm]
> > Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei dieser
> > Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps
> dazu.
>
> Hm, da wäre es gut gewesen, du hättest deine
> Verständnisprobleme etwas konkretisiert. Das ist nämlich
> dermaßen einfach, dass man netwas ratlos dasteht ob deinem
> Ansatz-Mangel.
>
> Es soll gezeigt werden, dass jede Zahl [mm]z\in\IC[/mm] bzw. jeder
> Punkt in der Gauß'schen Ebene eine Epsilon-Umgebung
> besitzt. In [mm]\IR[/mm] sind das ja Intervalle, in [mm]\IC[/mm] kann man
> sich diese Umgebungen als (beliebig) kleine Kreise um einen
> Punkt vorstellen. Du brauchst also im Prinzip nichts weiter
> zu tun als zu argumentieren, weshalb der Abstand zweier
> komplexer Zahlen beliebig klein sein kann...
was man hier eigentlich macht, ist die Dichtheit von [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] in [mm] $\IR \times \IR$
[/mm]
zu beweisen. Dass der Abstand zweier komplexer Zahlen beliebig klein werden
kann, ist aber nicht die Aussage, die gemeint ist. Es ist keinesfalls trivial,
dass man zu irgendeinem $z [mm] \in \IC\cong \IR+i\IR$ [/mm] ein $w [mm] \in \red{\;\IQ\;}+i\red{\;\IQ\;}$ [/mm] wie gefordert findet.
Könnten wir nicht die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] benutzen oder wäre gar [mm] $\IC$ [/mm] mit einer
komplizierteren Metrik versehen, so wäre das ganze vielleicht sogar recht knifflig...
Jede anschauliche Argumentation ist hier mit Vorsicht zu genießen: Wie
willst Du "anschaulich" klarmachen, dass [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] ist? Man kann,
wenn man es einigermaßen vernünftig formuliert, eine gewisse Suggestion
dahingehend erreichen, aber viel mehr auch nicht...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt, sodass
> |z-w| < [mm]\epsilon.[/mm]
> Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei dieser
> Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps dazu.
es sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Für $z:=x+iy$ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mache folgendes:
Seien [mm] $\delta_x [/mm] > 0$ und [mm] $\delta_y [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Wähle ein [mm] $q_x \in (x+\delta_x) \cap \IQ$! [/mm] (Warum geht das?)
Wähle ein [mm] $q_y \in (y+\delta_y) \cap \IQ$! [/mm] (Warum geht das?)
Setze [mm] $w:=q_x+iq_y \in \IQ+i\IQ \subseteq \IC$ [/mm] (diese Zahl identifiziert man mit [mm] $(q_x,q_y) \in \IQ \times \IQ$)!
[/mm]
Schätze nun mal [mm] $|w-z|\,$ [/mm] ab:
[mm] $$|w-z|=\sqrt{(q_x-x)^2+(q_y-y)^2} \le [/mm] ...$$
Wenn Du damit (noch) nicht zurecht kommst:
Wenn Du nun noch den Spezialfall [mm] $\delta_x=\delta_y$ [/mm] betrachtest, dann solltest
Du eine Idee bekommen, was Du da hinschreiben kannst:
[mm] $$\delta_x:=\delta_y:=\delta:=... \text{ tut's !}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S. Eine kleine Erinnerung zur Hilfe:
[mm] $\IQ$ [/mm] ist dicht in [mm] $\IR$!
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> > alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt, sodass
> > |z-w| < [mm]\epsilon.[/mm]
> > Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei dieser
> > Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps dazu.
>
> es sei [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Für [mm]z:=x+iy[/mm] mit [mm]x,y \in \IR[/mm] mache
> folgendes:
> Seien [mm]\delta_x > 0[/mm] und [mm]\delta_y > 0\,.[/mm]
> Wähle ein [mm]q_x \in (x+\delta_x) \cap \IQ[/mm]!
> (Warum geht das?)
> Wähle ein [mm]q_y \in (y+\delta_y) \cap \IQ[/mm]! (Warum geht
> das?)
>
> Setze [mm]w:=q_x+iq_y \in \IQ+i\IQ \subseteq \IC[/mm] (diese Zahl
> identifiziert man mit [mm](q_x,q_y) \in \IQ \times \IQ[/mm])!
>
> Schätze nun mal [mm]|w-z|\,[/mm] ab:
> [mm]|w-z|=\sqrt{(q_x-x)^2+(q_y-y)^2} \le ...[/mm]
>
> Wenn Du damit (noch) nicht zurecht kommst:
> Wenn Du nun noch den Spezialfall [mm]\delta_x=\delta_y[/mm]
> betrachtest, dann solltest
> Du eine Idee bekommen, was Du da hinschreiben kannst:
> [mm]\delta_x:=\delta_y:=\delta:=... \text{ tut's !}[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
was sollen all die [mm] \delta [/mm] ?
Karl ist nicht da, äh, ich meinte kalinichta, also gute Nacht
$ [mm] \phi \rho \epsilon \delta$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > > Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> > > alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt, sodass
> > > |z-w| < [mm]\epsilon.[/mm]
> > > Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei
> dieser
> > > Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps dazu.
> >
> > es sei [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Für [mm]z:=x+iy[/mm] mit [mm]x,y \in \IR[/mm] mache
> > folgendes:
> > Seien [mm]\delta_x > 0[/mm] und [mm]\delta_y > 0\,.[/mm]
> > Wähle ein
> [mm]q_x \in (x+\delta_x) \cap \IQ[/mm]!
> > (Warum geht das?)
> > Wähle ein [mm]q_y \in (y+\delta_y) \cap \IQ[/mm]! (Warum geht
> > das?)
> >
> > Setze [mm]w:=q_x+iq_y \in \IQ+i\IQ \subseteq \IC[/mm] (diese Zahl
> > identifiziert man mit [mm](q_x,q_y) \in \IQ \times \IQ[/mm])!
> >
> > Schätze nun mal [mm]|w-z|\,[/mm] ab:
> > [mm]|w-z|=\sqrt{(q_x-x)^2+(q_y-y)^2} \le ...[/mm]
> >
> > Wenn Du damit (noch) nicht zurecht kommst:
> > Wenn Du nun noch den Spezialfall [mm]\delta_x=\delta_y[/mm]
> > betrachtest, dann solltest
> > Du eine Idee bekommen, was Du da hinschreiben kannst:
> > [mm]\delta_x:=\delta_y:=\delta:=... \text{ tut's !}[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Hallo Marcel,
>
> was sollen all die [mm]\delta[/mm] ?
ich will ihm halt nicht direkt alles vorkauen - aber prinzipiell kannst Du ja
bspw. [mm] $\delta_x=\epsilon/2$ [/mm] und [mm] $\delta_y=\epsilon/5$ [/mm] setzen...
Dass man es "einfacher" machen kann, darauf habe ich indirekt auch
hingewiesen!
> Karl ist nicht da, äh, ich meinte kalinichta, also gute
> Nacht
>
> [mm]\phi \rho \epsilon \delta[/mm]
??
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt, sodass
> |z-w| < [mm]\epsilon.[/mm]
> Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei dieser
> Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps dazu.
>
> Viele Grüße und danke im Vorraus
Ich glaube, dass Diophant die Frage falsch verstanden hat.
Es geht darum, dass [mm] $\IQ+i*\IQ$ [/mm] dicht liegt in [mm] \IC.
[/mm]
Sei z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] mit x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Zu x gibt es ein u [mm] \in \IR [/mm] mit |x-u|< [mm] \varepsilon/2.
[/mm]
Edit: ich meinte natürlich u [mm] \in \IQ
[/mm]
jetzt du
fred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred!
> > Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> > alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt, sodass
> > |z-w| < [mm]\epsilon.[/mm]
> > Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei dieser
> > Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps dazu.
> >
> > Viele Grüße und danke im Vorraus
>
>
> Ich glaube, dass Diophant die Frage falsch verstanden hat.
>
> Es geht darum, dass [mm]\IQ+i*\IQ[/mm] dicht liegt in [mm]\IC.[/mm]
>
> Sei z=x+iy [mm]\in \IC[/mm] mit x,y [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0.
>
> Zu x gibt es ein u [mm]\in \red{\IR}[/mm] mit |x-u|< [mm]\varepsilon/2.[/mm]
Nehmen wir doch lieber ein $u [mm] \in \red{\;\IQ\;}$! [/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred!
>
> > > Es sei [mm]\epsilon \in \IR, \epsilon[/mm] > 0. Zeige, dass es für
> > > alle z [mm]\in \IC[/mm] ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm] gibt, sodass
> > > |z-w| < [mm]\epsilon.[/mm]
> > > Habe wieder mal eine Frage und zwar hab ich bei
> dieser
> > > Aufgabe keinerlei Ansätze, bräuchte ein paar Tipps dazu.
> > >
> > > Viele Grüße und danke im Vorraus
> >
> >
> > Ich glaube, dass Diophant die Frage falsch verstanden hat.
> >
> > Es geht darum, dass [mm]\IQ+i*\IQ[/mm] dicht liegt in [mm]\IC.[/mm]
> >
> > Sei z=x+iy [mm]\in \IC[/mm] mit x,y [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0.
> >
> > Zu x gibt es ein u [mm]\in \red{\IR}[/mm] mit |x-u|< [mm]\varepsilon/2.[/mm]
>
> Nehmen wir doch lieber ein [mm]u \in \red{\;\IQ\;}[/mm]!
Uhaaa ! habs schon verbessert
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Moin FRED,
> Ich glaube, dass Diophant die Frage falsch verstanden hat.
>
So ist es. Aber darf man die Tatsache, dass [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt, an dieser Stelle nicht schon verwenden?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Moin FRED,
>
> > Ich glaube, dass Diophant die Frage falsch verstanden hat.
> >
>
> So ist es. Aber darf man die Tatsache, dass [mm]\IQ[/mm] dicht in
> [mm]\IR[/mm] liegt, an dieser Stelle nicht schon verwenden?
sowohl bei Freds Antwort als auch in meiner machen wir das doch!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> sowohl bei Freds Antwort als auch in meiner machen wir das
> doch!
Ja, jetzt hab ich es auch gesehen. Ich geh dann mal ausschlafen...
Gruß, Diophant
|
|
|
|
