Betrag eines Vektors durch ()² < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
folgende Aufgabe:
a und b seien zwei Einheitsvektoren in R³, die einen Winkel von 60°
einschließen.
x=2a-3b
Bestimmen Sie |x|.
Mein Prof hat das in seiner Vorlesung so gemacht:
|x|=sqrt(x²)=...
Versuch im Moment nachzuvollziehen, warum man das so machen kann, komm da aber nicht drauf.
Den Betrag eines Vektors errechnet man doch, in dem man die Komponenten
einzeln quadriert, die Summe bildet und dann die Wurzel zieht.
Wäre dankbar für eine Erklärung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 So 24.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi,
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> folgende Aufgabe:
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> a und b seien zwei Einheitsvektoren in R³, die einen Winkel
> von 60°
> einschließen.
>
> x=2a-3b
>
> Bestimmen Sie |x|.
>
> Mein Prof hat das in seiner Vorlesung so gemacht:
>
> |x|=sqrt(x²)=...
>
> Versuch im Moment nachzuvollziehen, warum man das so machen
> kann, komm da aber nicht drauf.
> Den Betrag eines Vektors errechnet man doch, in dem man
> die Komponenten
> einzeln quadriert, die Summe bildet und dann die Wurzel
> zieht.
>
> Wäre dankbar für eine Erklärung.
Dann versuche ich mal, diese zu liefern... Also was dein Professor da gemacht hat ist ganz einfach, dass er das Skalarprodukt angewandt hat, was mir bei dieser Aufgabe von entscheidender Bedeutung zu sein scheint!
|x|=sqrt(x²)=...
Warum das? Nunja das [mm] x^2 [/mm] heißt in diesem Fall, dass ich den Vektor x skalar mit sich selbst multipliziere. So erhalte ich [mm] x^2 [/mm] und ich weiss aus den Eigenschaften des Skalarproduktes, das der Ausdruck [mm] x^2 [/mm] immer positiv ist (oder 0 für den Fall x ist der Nullvektor). Ausserdem ist es eine Zahl in [mm] $\IR$ [/mm] und ich kann deshalb die Wurzel darauf anwenden. Das Ergebnis nennt man dann die induzierte Norm des Skalarproduktes.
Im Fall, das wir das Standardskalarprodukt verwenden (in dem wir komponentenweise multiplizieren und das ganze dann addieren) erhalten wir genau das gewünscht, nämlich den Betrag des Vektors, wie man ihn kennt.
Es gibt neben dem Standardskalarprodukt noch andere "Skalarprodukte", deswegen musste ich etwas ausholen mit den Begriffen.
Gruß Micha 
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> Im Fall, das wir das Standardskalarprodukt verwenden (in
> dem wir komponentenweise multiplizieren und das ganze dann
> addieren) erhalten wir genau das gewünscht, nämlich den
> Betrag des Vektors, wie man ihn kennt.
Aber wir haben hier doch keine Komponeneten, mit denen wir arbeiten können...
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Micha |
> > Im Fall, das wir das Standardskalarprodukt verwenden (in
> > dem wir komponentenweise multiplizieren und das ganze dann
> > addieren) erhalten wir genau das gewünscht, nämlich den
> > Betrag des Vektors, wie man ihn kennt.
>
> Aber wir haben hier doch keine Komponeneten, mit denen wir
> arbeiten können...
>
Der Vektor x besteht doch aus 3 Komponenten: $x = [mm] \begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$
[/mm]
$ [mm] x^2$ [/mm] bedeutet jetzt [mm] x^2 = \begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
und das ist das Skalarprodukt aus der Schule mit:
[mm] \begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_1^2+x_2^2+x_3^3 [/mm]
Wenn du jetzt [mm] \sqrt{x^2}[/mm] anschaust ist das:
[mm] \sqrt{x^2} = \sqrt{ x_1^2+x_2^2+x_3^3 } [/mm] was der berechnung der Länge (=Betrag) des Vektors entspricht.
Gruß Micha
(sollte noch was unklar geblieben sein, frag nur)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Mo 25.04.2005 | | Autor: | progmaker |
Die Erklärung hat mir jetzt geholfen, danke!
Gruß,
progmaker
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:40 Do 28.07.2005 | | Autor: | zelli |
Hallo, könnt ihr mir den Lösungsweg für diese Aufgabe zeigen? Ich hab ein ähnliches Problem, nur versteh ich es immer noch nicht. Danke
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