Betrag einer Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo ich habe eine Frage.
Ich habe ein Polynom [mm] $f(x)=\sum_{j=0}^{n} a_j x^j$ [/mm] gegeben, wobei die [mm] $a_j \in \IR$ [/mm] sind. Nun brauche ich für einen Beweis das Polynom [mm] $\overline{f}(x)=\sum_{j=0}^{n} |a_j| x^j$ [/mm] , d.h. das Polynom f mit positiven Koeffizienten. |
Nun lautet mein Polynom:
$f(x) = [mm] x^{p-1} (x-1)^p (x-2)^p \cdots (x-n)^p$
[/mm]
Wie komme ich nun für mein [mm] $\overline{f}(x)$ [/mm] auf:
[mm] $\overline{f}(x) [/mm] = [mm] x^{p-1} (x+1)^p (x+2)^p \cdots (x+n)^p$
[/mm]
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
Gruß Mathefuchs
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> Hallo ich habe eine Frage.
> Ich habe ein Polynom [mm]f(x)=\sum_{j=0}^{n} a_j x^j[/mm] gegeben,
> wobei die [mm]a_j \in \IR[/mm] sind. Nun brauche ich für einen
> Beweis das Polynom [mm]\overline{f}(x)=\sum_{j=0}^{n} |a_j| x^j[/mm]
> , d.h. das Polynom f mit positiven Koeffizienten.
> Nun lautet mein Polynom:
> [mm]f(x) = x^{p-1} (x-1)^p (x-2)^p \cdots (x-n)^p[/mm]
>
> Wie komme ich nun für mein [mm]\overline{f}(x)[/mm] auf:
> [mm]\overline{f}(x) = x^{p-1} (x+1)^p (x+2)^p \cdots (x+n)^p[/mm]
Vieta.
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Ich verstehe nicht wie mir der Satz von Vieta helfen soll zu zeigen, dass ich bei f nur die Vorzeichen umdrehen muss. Es könnte sich doch vorher auch etwas wegheben... Oder nicht?
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> Ich verstehe nicht wie mir der Satz von Vieta helfen soll
> zu zeigen, dass ich bei f nur die Vorzeichen umdrehen muss.
> Es könnte sich doch vorher auch etwas wegheben... Oder
> nicht?
Nein, in dem Fall Deines speziellen Polynoms $f(x) = [mm] x^{p-1} (x\red{-}1)^p (x\red{-}2)^p \cdots (x\red{-}n)^p$ [/mm] ist es so, dass sich beim Ausmultiplizieren und Sammeln nach Potenzen von $x$ die Koeffizienten [mm] $a_j$ [/mm] in der Darstellung [mm] $f(x)=\sum_{j=0}^{n} a_j x^j$ [/mm] als gewisse [mm] $\pm$ [/mm] Summen von Produkten der Wurzeln ergeben (alle mit gleichem Vorzeichen: weil alle Wurzeln dasselben Vorzeichen haben). Dadurch, dass man zum Polynom [mm] $\overline{f}(x)=\sum_{j=0}^{n} |a_j| x^j$ [/mm] übergeht, beseitigt man lediglich etwaige negative Vorzeichen jener Summen von Produkten von Wurzeln des ursprünglichen Polynoms $f(x) = [mm] x^{p-1} (x\red{-}1)^p (x\red{-}2)^p \cdots (x\red{-}n)^p$. [/mm] Genau dieselbe Beseitigung eines etwaigen negativen Vorzeichens gewisser [mm] $a_j$ [/mm] kann man erreichen, indem man einfach zum Polynom $ [mm] x^{p-1} (x\red{+}1)^p (x\red{+}2)^p \cdots (x\red{+}n)^p$ [/mm] übergeht.
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