Betrag Summe kompl. Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mi 10.11.2010 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Beweisen Sie für die gegebenen komplexen Zahlen [mm] z_{k}=a_{k}+b_{k}i [/mm] mit k=1,...,n:
[mm] |\summe_{k=1}^{n} z_{k}| \le \summe_{k=1}^{n}|z_{k}| [/mm] |
Hi,
bin hier grad völlig überfragt. Kann mir bitte jemand einen Ansatz geben, wie ich da rangehen soll?
lg Bastian
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Huhu,
zeige zuerst für zwei komplexe Zahlen: [mm] $|z_1 [/mm] + [mm] z_2| \le |z_1| [/mm] + [mm] |z_2|$.
[/mm]
Der Rest ist Induktion....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 10.11.2010 | | Autor: | UNR8D |
Hi,
ok für 2 Summanden hab ichs bewiesen, aber wie verwurste ich das jetzt mit Induktion?
Genau darin liegt mein Problem, ich kann das ganze irgendwie nicht mit den herkömmlichen, "einfachen" Vorgehen bei Induktionsbeweisen in Verbindung bringen, deswegen hab ich auch überhaupt keinen Ansatz gesehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo UNR8D!
Was ist denn unklar? Beginne den Induktionsschritt wie gewohnt.
Besonders ist hier, dass man die Induktionsvoraussetzung insgesamt zweimal anwenden muss:
[mm]\left|\summe_{k=1}^{n+1}z_k\right| \ = \ \left|\summe_{k=1}^{n}z_k+z_{n+1}\right| \ \le \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 10.11.2010 | | Autor: | UNR8D |
Irgendwie blockiert diese Aufgabe bei mir grad sämtliche Hirnwindungen^^
Also ok vom Prinzip her isses jetzt klar.
[mm] |\summe_{k=1}^{n+1}z_{k}| [/mm] = [mm] |\summe_{k=1}^{n}z_{k}+z_{n+1}|
[/mm]
jetzt mit meiner Voraussetzung ersetzten, am Ende wieder zusammenziehn und dann sollts dastehn.
Nur leider bin ich mir bei den nächsten (beiden) Schritten absolut unsicher.
Ich mein ich darf doch jetzt als nächstes nicht einfach gleich schreiben
[mm] \le \summe_{k=1}^{n} |z_{k}+z_{n+1}| [/mm] oder?
Wäre ja quasi bereits die Behauptung angewendet nur dass ich die Summe auseinandergezogen habe.
Oder muss ich erst über [mm] \le \summe_{k=1}^{n}|z_{k}| [/mm] + [mm] |z_{n+1}| [/mm] gehn?
Aber sagt mir meine Annahme dass ich das darf?
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Hallo UNR8D,
> Irgendwie blockiert diese Aufgabe bei mir grad sämtliche
> Hirnwindungen^^
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> Also ok vom Prinzip her isses jetzt klar.
> [mm]|\summe_{k=1}^{n+1}z_{k}|[/mm] = [mm]|\summe_{k=1}^{n}z_{k}+z_{n+1}|[/mm]
>
> jetzt mit meiner Voraussetzung ersetzten, am Ende wieder
> zusammenziehn und dann sollts dastehn.
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> Nur leider bin ich mir bei den nächsten (beiden) Schritten
> absolut unsicher.
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> Ich mein ich darf doch jetzt als nächstes nicht einfach
> gleich schreiben
> [mm]\le \summe_{k=1}^{n} |z_{k}+z_{n+1}|[/mm] oder?
> Wäre ja quasi bereits die Behauptung angewendet nur dass
> ich die Summe auseinandergezogen habe.
>
> Oder muss ich erst über [mm]\le \summe_{k=1}^{n}|z_{k}|[/mm] + [mm]|z_{n+1}|[/mm] gehn?
Ja, aber bitte mit Zwischenschritt.
Fasse [mm]\sum\limits_{k=1}^nz_k[/mm] als den einen und [mm]z_{n+1}[/mm] als den anderen Summanden auf.
Dann ist [mm]\left| \ \left( \ \sum\limits_{k=1}^nz_k \ \right) \ + \ z_{n+1} \ \right| \ \le \ \left| \sum\limits_{k=1}^nz_k \ \right| \ + \ |z_{n+1}|[/mm]
denn für 2 Summanden gilt es ja.
Nun wende die IV auf die Summe an ...
Gruß
schachuzipus
> Aber sagt mir meine Annahme dass ich das darf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mi 10.11.2010 | | Autor: | UNR8D |
Irgendetwas in mir sträubt sich zwar noch gegen die Tatsache, dass man die Summe hier einfach als einen Summanden ansehen darf, aber es funktioniert so ja wundarbar.
Darüber muss ich morgen nochmal genauer nachdenken, wenn ich wieder aufnahmefähig bin ;)
Vielen Dank euch :)
lg Bastian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Im übrigen funktioniert das hier sehr ähnlich wie bei dieser Aufgabe.
Gruß
Loddar
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