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| Aufgabe | Der Bestand an Wüstenmäusen in einem Siedlungsgebiet lässt sich während des Frühjahrs durch die Funktion N(t) = 24 - 18 * [mm] e^{-0,2t} [/mm] - 6* [mm] e^{0,2t} [/mm] beschreiben.
(t: Zeit in Monaten seit Beobachtungsbeginn; N(t) : Anzahl der Wüstenmäuse in Tausend).
a) Stellen sie die Funktion N(t) und N´(t) graphisch dar. Interpretieren sie die beiden Graphen.
b) Wann ist die Populationsgröße maximal? Wann ist die Population ausgestorben?
c) Wie groß ist die mittlere Zuwachsrate in den ersten 6 Monaten?
d) Wie groß ist die momentane Zuwachsrate zur Zeit t=2 ? |
Hey,
also ich habe echt riesen Probleme mit der Aufgabe.
a) mache ich erst zum Schluss
N´(t) = 3,6 * [mm] e^{-0,2t} [/mm] - [mm] 1,2e^{0,2t} [/mm] ist doch die 1. Ableitung oder?
zu b)
dort würde ich N´(t) = 0 setzen und die notwendige und hinreichende Bedingung anwenden aber irgendwie kriege ich das mit dem umstellen nicht so ganz hin
mehr weiß ich leider noch nicht..
Wäre echt super wenn mir jmd helfen könnte!!
Grüße
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Hallo NathalieD,
> Der Bestand an Wüstenmäusen in einem Siedlungsgebiet
> lässt sich während des Frühjahrs durch die Funktion N(t)
> = 24 - 18 * [mm]e^{-0,2t}[/mm] - 6* [mm]e^{0,2t}[/mm] beschreiben.
> (t: Zeit in Monaten seit Beobachtungsbeginn; N(t) : Anzahl
> der Wüstenmäuse in Tausend).
>
>
> a) Stellen sie die Funktion N(t) und N´(t) graphisch dar.
> Interpretieren sie die beiden Graphen.
>
> b) Wann ist die Populationsgröße maximal? Wann ist die
> Population ausgestorben?
>
> c) Wie groß ist die mittlere Zuwachsrate in den ersten 6
> Monaten?
>
> d) Wie groß ist die momentane Zuwachsrate zur Zeit t=2 ?
> Hey,
>
> also ich habe echt riesen Probleme mit der Aufgabe.
>
> a) mache ich erst zum Schluss
>
> N´(t) = 3,6 * [mm]e^{-0,2t}[/mm] - [mm]1,2e^{0,2t}[/mm] ist doch die
> 1. Ableitung oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> dort würde ich N´(t) = 0 setzen und die notwendige und
> hinreichende Bedingung anwenden aber irgendwie kriege ich
> das mit dem umstellen nicht so ganz hin
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> mehr weiß ich leider noch nicht..
>
> Wäre echt super wenn mir jmd helfen könnte!!
>
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Do 24.02.2011 | | Autor: | NathalieD |
3,6 * [mm] e^{-0,2t} [/mm] - [mm] 1,2e^{o,2t} [/mm] = 0
3,6 * [mm] e^{-0,2t} [/mm] = [mm] 1,2e^{o,2t}
[/mm]
ln 3,6 * (-0,2t) = ln 1,2* 0,2t / : - 0,2 t
ln 3,6 = ln 1,2 * 0,2 t / - 0,2t
das ist doch komplett falsch oder?
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Hallo NathalieD,
Stelle Fragen auch als Fragen, denn dann ist die Wahrscheinlichkeit größer,
daß diese Frage gelesen und beantwortet wird größer als wenn die
Frage als Mitteilung gepostet wird.
> 3,6 * [mm]e^{-0,2t}[/mm] - [mm]1,2e^{o,2t}[/mm] = 0
>
> 3,6 * [mm]e^{-0,2t}[/mm] = [mm]1,2e^{o,2t}[/mm]
>
> ln 3,6 * (-0,2t) = ln 1,2* 0,2t / : - 0,2 t
Das "*" hat hier nichts verloren.
Korrekt ist:
[mm]\ln\left(3,6\right)\blue{-}0,2t=\ln\left(1,2\right)\blue{+}0.2t[/mm]
Dies ist jetzt nach t aufzulösen.
>
> ln 3,6 = ln 1,2 * 0,2 t / - 0,2t
>
>
>
> das ist doch komplett falsch oder?
Schau Dier hierzu die Logarithmusgesetze an.
Gruss
MathePower
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Ok ich verstehe aber nicht wieso das * dort nichts zu suchen hat?
Die erste Ableitung ist doch 3,6 * [mm] e^{-0,2t} [/mm] - 1,2 * [mm] e^{0,2t} [/mm]
für t habe ich 2,7465 raus. Das ist richtig oder?
Und wie geht es weiter?
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Hallo,
> Ok ich verstehe aber nicht wieso das * dort nichts zu
> suchen hat?
Du verwendest dein eigenes (und falsches) Logarithmusgesetz: [mm] $\ln(a\cdot{}b)=\ln(a)\cdot{}\ln(b)$ [/mm] schreibst du.
Das stimmt aber nicht!
Es ist [mm] $\ln(a\cdot{}b)=\ln(a)\red{+}\ln(b)$
[/mm]
> Die erste Ableitung ist doch 3,6 * [mm]e^{-0,2t}[/mm] - 1,2 * [mm]e^{0,2t}[/mm]
Ja, soweit war es doch schon gediehen ...
>
>
> für t habe ich 2,7465 raus. Das ist richtig oder?
Genauer [mm] $t=\frac{5}{2}\ln(3)$
[/mm]
>
> Und wie geht es weiter?
Prüfe, ob der obige Extremumskandidat auch wirklich einer ist.
Zweite Ableitung berechnen und an der oben berechneten Stelle auswerten ...
Gruß
schachuzipus
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N''(2,7465) = - 0,831
ist ungleich null , also ist es ein Extrema oder?
so und wie rechne ich denn jetzt aus wann die Population ausgestorben ist?
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Hallo NathalieD,
> N''(2,7465) = - 0,831
>
> ist ungleich null , also ist es ein Extrema oder?
Ein Extema ist das sowieso, nur welcher Art das Extrema ist,
entscheidet die zweite Ableitung, die ist hier kleiner 0.
Demnach handelt es sich um ein ...
>
> so und wie rechne ich denn jetzt aus wann die Population
> ausgestorben ist?
Löse die Gleichung
[mm]N\left(t\right)=0[/mm]
Gruss
MathePower
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weil es unter null ist , ein Tiefpunkt
ok aber wieso N(t) = 0 also wieso die Ausgangsfunktion
irgendwie krieg ich das nicht so ganz hin :
24-18 * [mm] e^{-0,2t} [/mm] = 6 * [mm] e^{0,2t}
[/mm]
24 - ln18 - 0,2t = ln6 + 0,2t / + 0,2t
24 - ln18 = ln6 + 0,4t / -ln6
24 - ln18 - ln6 = 0,4t / :0,4t
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Do 24.02.2011 | | Autor: | abakus |
> weil es unter null ist , ein Tiefpunkt
>
>
> ok aber wieso N(t) = 0 also wieso die Ausgangsfunktion
Die Ausgangsfunktion gibt die Anzahl der Viecher zu einem bestimmten Zeitpunkt an.
Ausgestorben bedeutet: die Anzahl der Lebenden ist Null geworden.
>
> irgendwie krieg ich das nicht so ganz hin :
>
> 24-18 * [mm]e^{-0,2t}[/mm] = 6 * [mm]e^{0,2t}[/mm]
>
Hallo,
ein Logarithmengesetz für "ln(a-b)=..." gibt es nicht. Deine nachfolgende Gleichung ist also völlig falsch.
Du musst beide Seiten der Gleichung mit [mm] e^{0,2t} [/mm] multiplizieren. Anschließend substituierst du [mm] e^{0,2t}=z.
[/mm]
Du erhältst [mm] 24z-18=6z^2 [/mm] als leicht zu lösende quadratische Gleichung.
Rücksubstitution nicht vergessen!
Gruß Abakus
> 24 - ln18 - 0,2t = ln6 + 0,2t / + 0,2t
>
> 24 - ln18 = ln6 + 0,4t / -ln6
>
> 24 - ln18 - ln6 = 0,4t / :0,4t
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hey sry aber ich versteh das echt gar nicht. :(
könntest du mir vllt die einzelnen Schritte hier aufschreiben ??
zu c)
dort hab ich den Differenzenquotienten für das Intervall [0;6] angewendet..
Allerdings kommt dort bei mir - 0,22 raus?
Weg :
[mm] \bruch{N(6)- N(0)}{6-0}
[/mm]
= [mm] \bruch{-1342}{6}
[/mm]
= - 0,22
und d)
N'(2) = 0,623
ist das richtig?
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Hallo
[mm] 24-18*e^{-0,2*t}=6*e^{0,2*t}
[/mm]
Multiplikation der Gleichung mit [mm] e^{0,2*t}
[/mm]
[mm] 24*e^{0,2*t}-18=6*e^{0,2*t}*e^{0,2*t}
[/mm]
Substitution [mm] z:=e^{0,2*t}
[/mm]
[mm] 24*z-18=6*z^{2}
[/mm]
[mm] 0=6*z^{2}-24*z+18
[/mm]
[mm] 0=z^{2}-4*z+3
[/mm]
jetzt p-q-Formel
Steffi
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merci,
habe jetzt einmal x= -1 und x² = -3 raus
aber das sagt mir doch jetzt immer noch nicht wann die population ausgestorben ist oder?
und sind meine lösungen für c) und d) richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 24.02.2011 | | Autor: | abakus |
> merci,
>
> habe jetzt einmal x= -1 und x² = -3 raus
Nein,
das ergibt [mm] z_1=+1 [/mm] und [mm] z_2=+3. [/mm] (Übe am besten nochmal das Lösen quadratischer Gleichungen!)
Da z aber nur ein ersetzter Ausdruck für [mm] e^{0,2t} [/mm] ist,
ist also die Anzahl N(t) genau dann Null, wenn entweder
[mm] e^{0,2t}=1 [/mm] oder [mm] e^{0,2t}=3 [/mm] gilt.
Löse das jeweils nach t auf. Du bekommst einen bekannten und einen neuen Wert für t heraus.
Gruß Abakus
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> aber das sagt mir doch jetzt immer noch nicht wann die
> population ausgestorben ist oder?
>
> und sind meine lösungen für c) und d) richtig?
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t = 5,49 oder?
Danke schonmal!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Fr 25.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Zeitpunkt alle tot ist richtig, deshalb lies noch mal den post von blech und verbessere die durchn. WR zu 0. auch ich hätte so nen dummen Fehler nicht machen sollen! Wenn man bei N=0 anfängt und durchnittlich negative Wachstumsrate hat ist das schon komisch!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die lösungen für z sind falsch richtig z=1 und z=3
dann hattest du ja [mm] z=e^{0,2*t}also [/mm]
rechne t aus [mm] e^{0,2*t}=3 [/mm] und =1 aus.
c und d sind richtig.
aber b) wenn f'(x)= 0 und f''(x)<0 liegt bei ein Maximum vor!
Gruss leduart
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zu c)
dort hab ich den Differenzenquotienten für das Intervall [0;6] angewendet..
Allerdings kommt dort bei mir - 0,22 raus?
Weg :
[mm] \bruch{N(6) - N (0)}{6-0}
[/mm]
= [mm] \bruch{-1,324}{6}
[/mm]
= -0,22
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist richtig. hättest du a zuerst gemacht, würdest du das alles sehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 24.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
nö ist nicht richtig, aber es ist nicht Dein Fehler.
1. Die Wachstumsfunktion gilt während des Frühjahrs. Das letzte Mal als ich gecheckt habe, dauerte es nicht 6 Monate.
2. Offensichtlich kann es keine negative Anzahl Mäuse geben, also müßte man zumindest mal ab dem Zeitpunkt, wo die Population 0 ist, die Funktion konstant bei 0 lassen. (führt zu einer spannenden durchschnittlichen Wachstumsrate von 0)
Die Aufgabe ist Quatsch. Ich nehm an, sie meinten die ersten 3 Monate.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Fr 25.02.2011 | | Autor: | leduart |
Danke Stefan!
man sollte doch eher denken als rechnen!
Gruss leduart
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