Bestimmung von Randpunkten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise: Jede nichtleere, echte Teilmenge des n-dimensionalen Raumes Rn besitzt mindestens einen Randpunkt.
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Hi,
ich bin irgendwie über die Aufgabe 4 unseres Übungsblattes etwas verwirrt.
Da steht: Jede nichtleere, echte Teilmenge des n-dimensionalen Raumes Rn besitzt mindestens einen Randpunkt.
Nun haben wir aber mittlerweile die Definition für abgeschlossen und offen kennengelernt, die da lautet:
Eine Teilmenge A ⊆ Rn heißt abgeschlossen, wenn A alle seine Randpunkte enthält, und offen, wenn sie keinen Randpunkt enthält, d.h. wenn A nur aus inneren Punkten besteht.
Suche ich mir also beispielsweise im R2 die nichtleere Menge {(x,y)| |x2+y2| < 1 }, so ist diese offen und enthält keinen Randpunkt.
Oder liege ich da falsch? Irgendwelche Meinungen dazu?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Cosmo,
du hast recht, zB. offene echte teilmengen des [mm] $\IR^n$ [/mm] enthalten nicht ihre randpunkte.... aber sie besitzen welche! und darum geht es in der Aufgabe.
VG
Matthias
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Hallo,
falls man eine Verbindungslinie zwischen dem Komplement und der nicht-leeren, echten Teilmenge herstellen möchte, so muss man zwangsweise einen Randpunkt schneiden, unabhängig davon, ob die Teilmenge offen oder abgeschlossen ist. Wie man das jetzt mathematisch formuliert, ist eine andere Frage....
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Wie könnte ich das anstellen.
Ich habe mir überlegt, über eine Intervallschachtelung zu gehen. Ich wähle also einen Punkt in A und einen Punkt in Rn/A. Dann ziehe ich zwischen diesen Punkten eine Linie. Jetzt teile ich diese Linie in zwei gleich große Stücke. Dann picke ich mir den Teil heraus, der sowohl Punkte aus A und Rn/A enthält, teile diesen wieder in der Mitte usw. Das muss dann in einem Punkt konvergieren, bei der ein Randpunkt ist.
Im R wärs ja kein Problem. Nur wie formulier ich das im Rn? Ich bin noch neu in Topologie, bin also auf möglichst genaue Formulierungen angewiesen.
Danke für die Mühe,
Cosmo
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ein Randpunkt ist ein Berührpunkt. Dann gibt es eine Folge von Vektoren, die gegen diesen Punkt konvergiert. Dies sowohl vom Komplement als auch von der Teilmenge aus.
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