Bestimmung von Möglichkeiten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Coco84 |
| Aufgabe | In einem Stochastik-Tutorium sind 2n Studenten. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese in n Abgabe-Paare einzuteilen?
Geben Sie eine Asymptotik für n [mm] \to \infty [/mm] an. |
Hallo!
Uns ist soweit klar, dass es eine gerade Anzahl von Studenten sein muss, daher 2n. Es gibt (2n)! Möglichkeiten die 2n Studenten in einer Reihe anzuordnen. Dazu muss es n-1 Trennwände geben, sodass jeweils 2 Studenten dazwischen stehen! Wie kann man dies allerdings in eine Formel bringen? Durch Probieren kamen wir leider auf kein Ergebnis!
Unsere erste Idee war [mm] \vektor{2n \\ n}... [/mm] was aber leider nicht passt!
Außerdem ist uns auch nicht ganz klar, wie man die Stirlingsche Formel mit in die Aufgabe einbringen kann!
Vielen Dank für die Hilfe!
Coco
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 01.11.2006 | | Autor: | DirkG |
Der Anfang ist schon mal nicht schlecht: Du betrachtest die $2n$ Leute aneinandergereiht, und hast $(2n)!$ Permutationen. Die Paare bilden jetzt 1-2, 3-4, 5-6, usw. Wenn man nun aber diese $n$ Paare als Paare permutiert, dann ergibt sich dieselbe Auswahl! Also musst du $(2n)!$ durch $n!$ teilen. Außerdem ist die Reihenfolge innerhalb des Paares auch egal, es ist dasselbe Paar - das ergibt einen weiteren Reduktionsfaktor 2 pro Paar, insgesamt [mm] $2^n$.
[/mm]
Die gesuchte Anzahl ist demnach [mm] $\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$. [/mm] Und darauf jetzt den Stirling
$$m! = [mm] \sqrt{2\pi m}\cdot m^m\cdot e^{-m+O(1/m)}$$
[/mm]
anwenden...
|
|
|
|
