Bestimmung von Max und Min < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Für a, b, c [mm] \in \IR [/mm] mit a<c<b sei I=[a,b]. Bestimme Maximum und Minimum der durch [mm] f(x)=[(x-a)²+(x-b)²+(x-c)²]^{1/2} [/mm] und
g(x)= [mm] \begin{vmatrix}x-a\end{vmatrix} [/mm] + [mm] \begin{vmatrix}x-b\end{vmatrix} [/mm] + [mm] \begin{vmatrix}x-c\end{vmatrix}
[/mm]
bestimmten Funktionen f,g : I [mm] \to \IR.
[/mm]
Tip: Zwei Funktionswerte [mm] f(x_{1}) [/mm] und [mm] f(x_{2}) [/mm] kann man auch vergleichen, indem man das Vorzeichen von f' im Intervall zwischen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] bestimmt. |
Hallo!
Hab leider absolut keine Idee wie ich hier loslegen soll.
Ich glaube ich könnte hier was mit dem Mittelwertsatz und/oder mit dem Satz von Rolle arbeiten, weiss blos nicht wie.
Kann mir da jemand helfen?
Übrigens die Striche in g(x) sollen Betragsstriche sein.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mo 15.01.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Sharik,
vielleicht helfen die folgenden Tipps weiter:
1) Dass in $f$ der Ausdruck [mm] $[...]^{1/2}$ [/mm] steht, ist nur Blendwerk. Du
kannst gleich das Minimum und Maximum des Radikanden bestimmen. Das
Minimum liegt im arithmetischen Mittel der Zahlen, also in $(a+b+c)/3$
und das Maximum liegt an einem der Raender.
1) Zeichne die Funktionen einmal fuer gegebene Werte. Bei $g$ wirst du
feststellen, dass sie zwar stetig, aber nicht differenzierbar ist an den
Stellen $a$, $b$ und $c$. Die Zeichnung wird dir zeigen, dass das
Mininimum in [mm] $c=\text{Median}\{a,b,c\}$ [/mm] liegt, also dem mittleren der
drei Werte. Auch hier wird das Maximum an einem der Raender liegen.
hth
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Sharik |
Hallo luis52.
Erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Hab jedoch noch einige Schwierigkeiten:
> kannst gleich das Minimum und Maximum des Radikanden
> bestimmen. Das Minimum liegt im arithmetischen Mittel der Zahlen, also in (a+b+c)/3 und das Maximum liegt an einem der Raender.
Also ich hab bisher die Randpunkte:
f(a)= [mm] (a-b)^{2} [/mm] + [mm] (a-c)^{2}
[/mm]
f(b)= [mm] (b-a)^{2} [/mm] + [mm] (b-c)^{2}
[/mm]
die Ableitung ist: f'(x)= 2(x-a)+2(x-b)+2(x-c)
wenn ich nun f'(x)=0 setze komme ich auf x= (a+b+c)/3
woher weiß ich nun, dass hier x= (a+b+c)/3 das Minimum leigt?
Und wie erfahre ich ob bzw. das die Randpunkte die Maximalstellen sind?
> 1) Zeichne die Funktionen einmal fuer gegebene Werte.
für welche Werte soll ich das machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 15.01.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52.
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe.
> Hab jedoch noch einige Schwierigkeiten:
>
>
> > kannst gleich das Minimum und Maximum des Radikanden
> > bestimmen. Das Minimum liegt im arithmetischen Mittel der
> Zahlen, also in (a+b+c)/3 und das Maximum liegt an einem
> der Raender.
>
> Also ich hab bisher die Randpunkte:
> f(a)= [mm](a-b)^{2}[/mm] + [mm](a-c)^{2}[/mm]
> f(b)= [mm](b-a)^{2}[/mm] + [mm](b-c)^{2}[/mm]
>
> die Ableitung ist: f'(x)= 2(x-a)+2(x-b)+2(x-c)
> wenn ich nun f'(x)=0 setze komme ich auf x= (a+b+c)/3
> woher weiß ich nun, dass hier x= (a+b+c)/3 das Minimum
> leigt?
Indem du $f''((a+b+c)/3)>0$ ueberpruefst.
> Und wie erfahre ich ob bzw. das die Randpunkte die
> Maximalstellen sind?
Da kannst du nur sagen: Wenn [mm] $(a-b)^{2}+ (a-c)^{2}>(b-a)^{2} [/mm] + [mm] (b-c)^{2}$, [/mm] also [mm] $(a-c)^{2}> (b-c)^{2}$, [/mm] also $|a-c|>|b-c|$, so liegt das Maximum in $a$, anderenfalls in $b$ (oder in $a$ und $b$ bei Gleichheit).
>
> > 1) Zeichne die Funktionen einmal fuer gegebene Werte.
>
> für welche Werte soll ich das machen?
Na, nimm doch einmal 0, 1 und 3 und dann 0, 2, und 3
hth
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Sharik |
> Indem du [mm]f''((a+b+c)/3)>0[/mm] ueberpruefst.
ok das kennt man ja noch von der schule, aber so haben wir es bisher nie gemacht deshalb bin ich ein wenig verwirrt.
Bisher haben wir die erste Ableitung gleich Null gesetzt und da ereits aussortiert (falls es möglich war), d.h. wir haben bei den Nullstellen der Ableitung geschaut welche <0 bzw. >0 waren bzw im gegebenem Intervall
lagen. Haben dann den möglichen Kandidaten in die Ausgagngsfunktion gesetzt und ausgerechnet. Das was wir dann als Wert rausbekamen haben wir dann [mm] \ge [/mm] 1 gesetzt und ausgerechnet und daraufhin unser Min oder Max bestimmt. Wobei ich nicht so richtig verstehe warum es [mm] \ge [/mm] 1 gesetzt wurde, die einizige Verknüpfung ist, dass in diesen Bsp. f(0)=1 war. Aber wie könnte ich es in dieser Aufgabe machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Di 16.01.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Sharik,
ich fuerchte, ich kann dir nicht mehr weiterhelfen, da ich nicht weiss, was du an Wissen voraussetzen kannst. Aus deinen Beschreibungen werde ich nicht so recht schlau. Du koenntest noch ueberpruefen, ob gilt $f'(x)<0$ links von $c$ bzw. ob $f'(x)>0$ rechts von $c$ gilt. Dann ist $f$ monoton fallend
fuer $x<c$ und monoton steigend fuer $x>c$. Aber wie gesagt, ich weiss nicht, ob du das benutzen darfst.
Vielleicht kann ein anderer Helfer uebernehmen...
|
|
|
|
