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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Flächeninhalt A der Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion f mit f(x)=x² und der x-Achse über dem Intervall [0;2] als Grenzwert einer Zerlegungssumme. |
So lautet ein Aufgabenbeispiel in meinem Mathebuch. Das Problem ist bloß, dass ich manche Aufgabenschritte zur Lösung wirklich nicht nachvollziehen kann.
Hier ist der Lösungsweg, wie er im Buch beschrieben wird:
Für die Obersumme gilt: (n= Anzahl der Teilintervalle)
O= (2/n)*[(2/n)²+(2*(2/n))²+...+(n*(2/n))²]
= (2³/n³)*[1+2²+3²+...+n²] (Hier verstehe ich nicht, wieso vor der eckigen klammer jetzt (2³/n³) steht. Denn wenn ichs richtig verstanden hab, wurde doch das (2/n) vorher ausgeklammert. dann müsste doch jetzt vor der klammer (2²/n²) stehen?)
da gilt, dass 1²+2²+3²+...+n² =(1/6)n(n+1)(2n+1) ist (Summenformel), sieht die Obersummenformel laut Buch zuletzt so aus:
O= (8/n³)*(1/6)*n(n+1)(2n+1)=(4/3)*((n+1)/n)*((2n+1)/n)
= (4/3)*(1+(1/n))*(2+(1/n)). und dann wird zuletzt daraus der Grenzwert ermittelt. Diese Umrechnungen vom letzten Obersummenschritt kann ich auch nicht nachvollziehen, obwohl ich alles selber mal nachgerechnet habe. Würde mich freuen, wenn jemand diese Schritte noch genauer erklären könnte. Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 So 07.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo lasagnetante!
> Denn wenn ichs richtig verstanden hab, wurde doch das (2/n)
> vorher ausgeklammert.
> dann müsste doch jetzt vor der klammer (2²/n²) stehen?)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es wird [mm] $\left(\bruch{2}{n}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^2^}{n^2}$ [/mm] ausgeklammert:
$$O(n) \ = \ [mm] \bruch{2}{n}*\left[\left(\bruch{2}{n}\right)^2+\left(2*\bruch{2}{n}\right)^2+\left(3*\bruch{2}{n}\right)^2+...+\left(n*\bruch{2}{n}\right)^2\right]$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{2}{n}*\left[1^2*\blue{\left(\bruch{2}{n}\right)^2}+2^2*\blue{\left(\bruch{2}{n}\right)^2}+3^2*\blue{\left(\bruch{2}{n}\right)^2}+...+n^2*\blue{\left(\bruch{2}{n}\right)^2}\right]$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{2}{n}*\blue{\left(\bruch{2}{n}\right)^2}*\left[1^2+2^2+3^2+...+n^2\right]$$
[/mm]
Nach einsetzen der Summenformel wird der Term leicht umsortiert und anschließend in den entsprechenden Brüchen jeweils $n_$ ausgeklammert und anschließend durch $n_$ gekürzt:
$$... \ = \ [mm] \bruch{8}{n^3}*\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{8*n*(n+1)*(2n+1)}{6*n*n*n}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{8}{6}*\bruch{n}{n}*\bruch{n+1}{n}*\bruch{2n+1}{n}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{4}{3}*1*\bruch{n+1}{n}*\bruch{2n+1}{n}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{4}{3}*\bruch{n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)}{n}*\bruch{n*\left(2+\bruch{1}{n}\right)}{n}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{4}{3}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)*\left(2+\bruch{1}{n}\right)$$
[/mm]
Und nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Kann mir jemand Loddars Rechnung für die Untersummen aufschreiben?
Wie definiere ich die Höhe? (1(1/n) +1)² + (2(1/n) +1)² + (3(1/n) +1)² + ... ?
Komme da absolut nicht weiter, nicht zuletzt weiß ich nicht wie ich die Summenformel einsetzen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar, es ist ziemlich dringend!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 18.01.2009 | | Autor: | cyclics |
Die Höhe ist der Funktionswert an eben dieser Stelle entlang der x-achse. bei der Bereichnung der Untersumme ist es jeweils die Höhe an linken Rand des Rechtecks. (bis hoch zum Schnittpunkt mit dem Funktionswert and ieser Stelle)..
Falls die Funktion durch null geht ist die Höhe im ersten Term der Summenformel natürlich erstmal 'Null'.
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