Bestimmung vom Pol 4er Ordnung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Fr 18.07.2014 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] f(z)=\frac{sin(z)}{z^5} [/mm] in 0 einen Pol 4-ter Ordnung hat. |
Durch die Reihendarstellung des Sinus gewinnt man:
[mm] f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{z^{2n-4}}{(2n+1)!}
[/mm]
Nun müsste man die Reihe so verschieben, dass für sie gilt [mm] \sum_{n=-4}^{\infty} a_{n} z^{n} [/mm] mit [mm] a_{n}=0 [/mm] für n<-4,
weil das gerade die Definition für eine Polstelle 4-ter Ordnung ist.
Allerdings gelingt das wegen des 2n Teils im Exponent nicht.
Kann jemand zeigen, wie man hier den Index richtig verschiebt?
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Hallo etoxxxl,
> Zeige, dass [mm]f(z)=\frac{sin(z)}{z^5}[/mm] in 0 einen Pol 4-ter
> Ordnung hat.
> Durch die Reihendarstellung des Sinus gewinnt man:
> [mm]f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{z^{2n-4}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> Nun müsste man die Reihe so verschieben, dass für sie
> gilt [mm]\sum_{n=-4}^{\infty} a_{n} z^{n}[/mm] mit [mm]a_{n}=0[/mm] für
> n<-4,
> weil das gerade die Definition für eine Polstelle 4-ter
> Ordnung ist.
> Allerdings gelingt das wegen des 2n Teils im Exponent
> nicht.
> Kann jemand zeigen, wie man hier den Index richtig
> verschiebt?
Setze [mm]n=\tilde{n}+2[/mm]
Dann lautet die Reihe: [mm]\sum_{\tilde{n}=-2}^{\infty} a_{2\tilde{n}} z^{2\tilde{n}}[/mm]
Gruss
MathePower
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