Bestimmung v. Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit A(6|0|0), B(6|0|0), C(0|6|0) sowie S(3|3|6).
a) Eine Ebene E geht durch die Mittelpunkte der Kanten SB und SC und ist orthogonal zur Seitenfläche BCS. Bestimmen Sie eine Gleichung für E.
b) Eine zweite Ebene F geht durch die Mittelpunkte der Kanten SA und SB und ist orthogonal zur Seitenfläche ABS. Bestimmen Sie eine Gleichung für F.
c) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Schnittgerade von E und F. |
Hallo MatheForum!
Bin gerade beim Bearbeiten den Mathe-Hausaufgaben, komme aber bei dieser Aufgabe gar nicht weiter.
Die Bestimmung der Schnittgeraden dürfte kein Problem sein; bei der Bestimmung der Ebenengleichung weiß ich aber nicht, wie ich hier vorgehen soll.
Zu a) (Ebene E)
Es gibt drei Informationen:
– E geht durch den Mittelpunkt [mm] M_{SB}
[/mm]
– durch den Mittelpunkt [mm] M_{SC}
[/mm]
– und ist orthogonal zur Fläche BCS
Ich hab jetzt mal die beiden Mittelpunkte ausgerechnet.
[mm] \overrightarrow{m_{SB}}= [/mm] 0,5* [mm] [\overrightarrow{s} [/mm] + [mm] \overrightarrow{b}] [/mm] = [mm] \vektor{4,5 \\ 4,5 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{m_{SC}} [/mm] = [mm] \vektor{1,5 \\ 4,5 \\ 3}
[/mm]
Hätte ich jetzt noch einen dritten Punkt, könnte ich ja problemlos die ebenegleichung aufstellen. Aber den hab ich ja nicht und somit nützt mir das nicht sonderlich viel. Oder?
Jett zur dritten, gegebenen Information: die Orthogonalität zur Seitenfläche BCS.
Hier könnte ich ja mithilfe des Skalarprodukts den Normalenvektor von E ermitteln (da orthogonal muss das Skalarprodukt null sein). Hätte ich den Normalenvektor, könnte ich die Koordinatenform aufstellen.
Problem: Hat die BCS so etwas wie einen Normalenvektor?
Nun ja. Das sind meine Überlegungen zu dieser Teilaufgabe.
Ich hoffe, jemand kann mir einen Tipp geben bzw. weiterhelfen, sodass ich verstehe, wie man diese Gleichung aufstellt.
Teilaufabe b) ist ja genau dasselbe in blau.
Die Ermittlung der Schnittgeraden dürfte – wie gesagt – auch kein problem für mich sein.
Bedanke mich schon im Vroaus für die Hilfe!!
LG Eli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 19.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit A(6|0|0),
> B(6|0|0), C(0|6|0) sowie S(3|3|6).
Hallo,
bitte korrigiere die Koordinaten. A und B sind sicher nicht gleich.
> a) Eine Ebene E geht durch die Mittelpunkte der Kanten SB
> und SC und ist orthogonal zur Seitenfläche BCS. Bestimmen
> Sie eine Gleichung für E.
> b) Eine zweite Ebene F geht durch die Mittelpunkte der
> Kanten SA und SB und ist orthogonal zur Seitenfläche ABS.
> Bestimmen Sie eine Gleichung für F.
> c) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Schnittgerade
> von E und F.
> Hallo MatheForum!
>
> Bin gerade beim Bearbeiten den Mathe-Hausaufgaben, komme
> aber bei dieser Aufgabe gar nicht weiter.
> Die Bestimmung der Schnittgeraden dürfte kein Problem
> sein; bei der Bestimmung der Ebenengleichung weiß ich aber
> nicht, wie ich hier vorgehen soll.
>
> Zu a) (Ebene E)
> Es gibt drei Informationen:
> – E geht durch den Mittelpunkt [mm]M_{SB}[/mm]
> – durch den Mittelpunkt [mm]M_{SC}[/mm]
> – und ist orthogonal zur Fläche BCS
>
> Ich hab jetzt mal die beiden Mittelpunkte ausgerechnet.
> [mm]\overrightarrow{m_{SB}}=[/mm] 0,5* [mm][\overrightarrow{s}[/mm] +
> [mm]\overrightarrow{b}][/mm] = [mm]\vektor{4,5 \\ 4,5 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{m_{SC}}[/mm] = [mm]\vektor{1,5 \\ 4,5 \\ 3}[/mm]
>
> Hätte ich jetzt noch einen dritten Punkt, könnte ich ja
> problemlos die ebenegleichung aufstellen. Aber den hab ich
> ja nicht und somit nützt mir das nicht sonderlich viel.
> Oder?
Hallo,
wenn E senkrecht zu BCS ist, liegt der Normalenvektor von BCS in E (ist also ein möglicher Spannvektor für E).
Gruß Abakus
>
> Jett zur dritten, gegebenen Information: die
> Orthogonalität zur Seitenfläche BCS.
> Hier könnte ich ja mithilfe des Skalarprodukts den
> Normalenvektor von E ermitteln (da orthogonal muss das
> Skalarprodukt null sein). Hätte ich den Normalenvektor,
> könnte ich die Koordinatenform aufstellen.
> Problem: Hat die BCS so etwas wie einen Normalenvektor?
>
> Nun ja. Das sind meine Überlegungen zu dieser
> Teilaufgabe.
> Ich hoffe, jemand kann mir einen Tipp geben bzw.
> weiterhelfen, sodass ich verstehe, wie man diese Gleichung
> aufstellt.
> Teilaufabe b) ist ja genau dasselbe in blau.
> Die Ermittlung der Schnittgeraden dürfte – wie gesagt
> – auch kein problem für mich sein.
>
> Bedanke mich schon im Vroaus für die Hilfe!!
>
> LG Eli
>
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Hallo abakus, vielen Dank für deine Hilfe.
Tut mir leid, hatte mich vertippt:
B ist (6|6|0); der Rest stimmt.
Ich habe jetzt versucht, deinen Tipp umzusetzen.
BCS habe ich als Ebene behandelt und folgende Gleichung aufgestellt:
S: [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 6} [/mm] + u* [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ -6} [/mm] + v* [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren [mm] \overrightarrow{u} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v} [/mm] ergibt den Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] der Seitenfläche BCS.
Ich habe also errechnet:
[mm] \overrightarrow{n}= \vektor{3 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Nach deinen Worten ist dieser Normalenvektor ein möglicher Spannvektor [mm] \overrightarrow{v} [/mm] der gesuchten Ebene.
Ein anderer Spannvektor erhält man doch, wenn ich [mm] \overrightarrow{m_{SC}} [/mm] von [mm] \overrightarrow{m_{SB}} [/mm] subtrahiere, oder?
Damit also
[mm] \overrightarrow{u}= \vektor{3 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Somit wäre eine mögliche Gelichung der Ebene:
E: [mm] \vektor{4,5 \\ 4,5 \\ 3} [/mm] + s* [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t* [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Ist das so richtig?
LG Eli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 So 19.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus, vielen Dank für deine Hilfe.
>
> Tut mir leid, hatte mich vertippt:
> B ist (6|6|0); der Rest stimmt.
>
> Ich habe jetzt versucht, deinen Tipp umzusetzen.
> BCS habe ich als Ebene behandelt und folgende Gleichung
> aufgestellt:
> S: [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 6}[/mm] + u* [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ -6}[/mm] + v*
> [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
> Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren
> [mm]\overrightarrow{u}[/mm] und [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ergibt den
> Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] der Seitenfläche BCS.
>
> Ich habe also errechnet:
> [mm]\overrightarrow{n}= \vektor{3 \\ 0 \\ 2}[/mm]
Hallo,
irgendwo hast du dich verrechnet. Der Vektor [mm] \vec{n} [/mm] steht nicht senkrecht auf [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ -6} [/mm] und auch nicht senkrecht auf [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ 6}. [/mm] Das habe ich mit den Skalarprodukten überprüft, die erkennbar nicht Null werden.
Gruß Abakus
>
> Nach deinen Worten ist dieser Normalenvektor ein möglicher
> Spannvektor [mm]\overrightarrow{v}[/mm] der gesuchten Ebene.
>
> Ein anderer Spannvektor erhält man doch, wenn ich
> [mm]\overrightarrow{m_{SC}}[/mm] von [mm]\overrightarrow{m_{SB}}[/mm]
> subtrahiere, oder?
> Damit also
> [mm]\overrightarrow{u}= \vektor{3 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Somit wäre eine mögliche Gelichung der Ebene:
> E: [mm]\vektor{4,5 \\ 4,5 \\ 3}[/mm] + s* [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 0}[/mm] + t*
> [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
>
> LG Eli
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