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| Aufgabe | Bestimmen die lokalen Extremwerte von f.
f(x,y) = 3 [mm] x^3 [/mm] + 3 [mm] y^3 [/mm] - 9xy |
Hier ein Versuch einer Lösung. So richtig weiß ich noch nicht was ich mit der Aufgabe anfangen soll..
Ich habe jetzt erstmal die erste Ableitung jeweils von x, und von y bestimmt.. [mm] f_x [/mm] = [mm] 9x^2 [/mm] - 9y und [mm] f_y [/mm] = [mm] 9y^2 [/mm] - 9x ..habe diese gleich Null gesetzt, die Gleichungen addiert und umgestellt
x(9x - 9) + y(9y-9) = 0
..habe daraus die Nullstellen [mm] x_1 [/mm] = 0, [mm] x_2 [/mm] = 1, [mm] y_1 [/mm] =0, [mm] y_2 [/mm] = 1 gezogen.
Dann habe ich die zweiten Ableitungn bestimmt [mm] f_{xx} [/mm] = 18x und [mm] f_{yy} [/mm] = 18y und darin die Nullstellen eingesetzt ..damit erhalte ich für den Fall [mm] x_1 [/mm] = 0, die Zahl 0 und für [mm] x_2 [/mm] = 1, die Zahl 18.
- 18 größer Null würde bedeuten es handelt sich dort um ein Minimum.
- Null gleich Null bedeutet??
Für [mm] y_1 [/mm] = 0 erhalte ich ebenfalls die Zahl Null (Deutung??) und für [mm] y_2 [/mm] = 1 die Zahl 18, also größer Null, ein Minimum
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo stonefree,
> Bestimmen die lokalen Extremwerte von f.
> f(x,y) = 3 [mm]x^3[/mm] + 3 [mm]y^3[/mm] - 9xy
> Hier ein Versuch einer Lösung. So richtig weiß ich noch
> nicht was ich mit der Aufgabe anfangen soll..
>
> Ich habe jetzt erstmal die erste Ableitung jeweils von x,
> und von y bestimmt.. [mm]f_x[/mm] = [mm]9x^2[/mm] - 9y und [mm]f_y[/mm] = [mm]9y^2[/mm] - 9x
> ..habe diese gleich Null gesetzt, die Gleichungen addiert
> und umgestellt
> x(9x - 9) + y(9y-9) = 0
> ..habe daraus die Nullstellen [mm]x_1[/mm] = 0, [mm]x_2[/mm] = 1, [mm]y_1[/mm] =0, [mm]y_2[/mm]
> = 1 gezogen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Na, das klappt doch gut mit dem partiellen Ableiten!
Du hast also die stationären Punkte [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] und [mm] $(x_1,y_1)=(1,1)$ [/mm] herausbekommen
Nun stelle die Hessematrix in diesen Punkten auf:
[mm] $H(x,y)=\pmat{f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)}$
[/mm]
Also, wie du richtig berechnet hast [mm] $H(x,y)=\pmat{18x&-9\\-9&18y}$
[/mm]
Damit [mm] $H(0,0)=\pmat{0&-9\\-9&0}$ [/mm] und [mm] $H(1,1)=\pmat{18&-9\\-9&18}$
[/mm]
>
> Dann habe ich die zweiten Ableitungn bestimmt [mm]f_{xx}[/mm] = 18x
> und [mm]f_{yy}[/mm] = 18y und darin die Nullstellen eingesetzt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ..damit erhalte ich für den Fall [mm]x_1[/mm] = 0, die Zahl 0 und
> für [mm]x_2[/mm] = 1, die Zahl 18.
> - 18 größer Null würde bedeuten es handelt sich dort um ein
> Minimum.
> - Null gleich Null bedeutet??
> Für [mm]y_1[/mm] = 0 erhalte ich ebenfalls die Zahl Null
> (Deutung??) und für [mm]y_2[/mm] = 1 die Zahl 18, also größer Null,
> ein Minimum
Was für Zahlen erhältst du da wie?
Schaue nochmal ins Skript, wie das mir der Hessematrix und den Extrema ist.
Stichworte: Definitheit und/oder Eigenwerte der H-Matrix ...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
LG
schachuzipus
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