Bestimmung einer Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge
{x∈R: |x−1|−|x−4|≥3}∩{x∈R: |x−2|−|x−3|≥1} als Intervall. |
Hallo liebe Mathegenies,
ich habe die oben angegebene Aufgabe in einem Skript und weiß absolut nicht, wie ich vorgehen muss.
Wie ist denn der allgemeine Ansatz?
Vielen Dank schon mal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Di 07.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie die Menge
> {x∈R: |x-1|−|x-4|≥3}∩{x∈R:
> |x-2|-|x-3|≥1} als Intervall.
> Hallo liebe Mathegenies,
>
> ich habe die oben angegebene Aufgabe in einem Skript und
> weiß absolut nicht, wie ich vorgehen muss.
>
> Wie ist denn der allgemeine Ansatz?
Bestimme erstmal die Lösungen der Ungleichungen in den beiden Mengen, und vereinige diese dann.
Dazu benötigst du natürlich die Betragsfunktion.
[mm]|x|=\begin{cases} x & \textrm{für } x\ge0 \\ -x & \textrm{für } x<0 \end{cases}[/mm]
Betrachte nun mal die erste Ungleichung:
[mm] |x-1|-|x-4|\ge3
[/mm]
Betrachte nun drei Fälle:
Fall 1: [mm] x\ge4, [/mm] dann ist sowohl [mm] |x-1|\ge0 [/mm] als auch [mm] |x-4|\ge0 [/mm] und aus [mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm] wird dann die Ungleichung [mm] x-1-(x-4)\ge3
[/mm]
Nun gilt:
[mm] x-1-(x-4)\ge3
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow3\ge3
[/mm]
Das ist eine Wahre Aussage, also bekommst du aus Fall 1, der ja als [mm] x\ge4 [/mm] gefordert war, die Lösung [mm] x\ge4
[/mm]
Fall 2: x<1
Dann ist sowohl x-1<0 als auch x-4<0, damit wird aus
[mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm] die Ungleichung
[mm] -(x-1)-(-(x-4))\ge3
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-4\ge3
[/mm]
Dieser Fall hat nun keine Teillösung
Fall 3: [mm] $1\le [/mm] x<4$
Dann ist [mm] x-1\ge0 [/mm] aber x-4<0, damit wird aus
[mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm] die Ungleichung
[mm] x-1-(-(x-4))\ge3
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow2x-5\ge3
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\ge4
[/mm]
Die "Fallforderung" und die "Falllösung" schliessen sich hier ebenfalls aus, also hat auch dieser Fall keine Lösung
Also hat die Ungleichung [mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm] die Lösungsmenge
[mm] \underbrace{\{x\ge4\}}_{1.Fall}\cup\underbrace{\emptyset}_{2.Fall}\cup\underbrace{\emptyset}_{3.Fall}=\{x\ge4\}
[/mm]
Bestimme so auch die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung [mm] |x-2|-|x-3|\ge1 [/mm] und vereinige danach beide Lösungen.
Marius
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Ich habe eine Frage zu Fall 1.
Oben stand Fall 1 soll sein x [mm] \ge [/mm] 4.
Und nach dem Beweis steht, es ist wahr, da x [mm] \le [/mm] 4 ist.
Wieso ist das kleiner-gleich Zeichen umgedreht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe eine Frage zu Fall 1.
> Oben stand Fall 1 soll sein x [mm]\ge[/mm] 4.
>
> Und nach dem Beweis steht, es ist wahr, da x [mm]\le[/mm] 4 ist.
>
> Wieso ist das kleiner-gleich Zeichen umgedreht?
ich tippe drauf, dass Marius sich verschrieben hat. Da ich aber nicht viel
Zeit habe, kann er das selbst nochmal kontrollieren!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Di 07.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> > Ich habe eine Frage zu Fall 1.
> > Oben stand Fall 1 soll sein x [mm]\ge[/mm] 4.
> >
> > Und nach dem Beweis steht, es ist wahr, da x [mm]\le[/mm] 4 ist.
> >
> > Wieso ist das kleiner-gleich Zeichen umgedreht?
>
> ich tippe drauf, dass Marius sich verschrieben hat.
Du hast korrekt getippt, ich habe meine Antwort inzwischen verbessert.
> Da ich
> aber nicht viel
> Zeit habe, kann er das selbst nochmal kontrollieren!
Erledigt
>
> Gruß,
> Marcel
Marius
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Okay alles klar.
Nun habe ich bei der zweiten Hälfte die Fälle x [mm] \ge [/mm] 3, x < 2 und 2 [mm] \le [/mm] x < 3 berechnet.
Und als Lösungsmenge kommt dann x [mm] \ge [/mm] 3 & bei den andern beiden [mm] \emptyset.
[/mm]
Ist das korrekt?
Und ist meine Gesamtlösungsmenge dann x [mm] \ge [/mm] 4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Di 07.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Okay alles klar.
>
> Nun habe ich bei der zweiten Hälfte die Fälle x [mm]\ge[/mm] 3, x
> < 2 und 2 [mm]\le[/mm] x < 3 berechnet.
>
> Und als Lösungsmenge kommt dann x [mm]\ge[/mm] 3 & bei den andern
> beiden [mm]\emptyset.[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Ja.
>
> Und ist meine Gesamtlösungsmenge dann x [mm]\ge[/mm] 4?
Ja, denn [mm] \{x\ge3\}\cap\{x\ge4\}=\{x\ge4\}
[/mm]
Marius
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Okay super, vielen vielen Dank! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und ist meine Gesamtlösungsmenge dann x [mm]\ge[/mm] 4?
das ist zwar eine schöne Sprechweise (die ich auch gerne hin und wieder
mal benutze), aber STRENGGENOMMEN sollte da natürlich eine Menge stehen:
etwa
[mm] $$\IL=\{x \in \IR:\;\;x \ge 4\},$$
[/mm]
oder Du schreibst in Worten, dass die Lösungsmenge gegeben ist durch
[mm] $$\{x \in \IR:\;\;x \ge 4\}\,.$$
[/mm]
Noch eine Möglichkeit: Die Lösungsmenge [mm] $\IL\;\;(\subseteq \IR)$ [/mm] wird charakterisiert durch:
$$x [mm] \in \IL \iff [/mm] x [mm] \ge 4\,.$$
[/mm]
Wobei Du hier auch direkt [mm] $\IL=\{x \in \IR: |x-1|-|x-4| \ge 3\}\cap \{x \in \IR: |x-2|-|x-3|\ge 1\},$
[/mm]
was ja vorgegeben war, noch dazuschreiben kannst, also:
[mm] $$\{x \in \IR: |x-1|-|x-4| \ge 3\}\cap \{x \in \IR: |x-2|-|x-3|\ge 1\}=\{x \in \IR:\;\;x \ge 4\}\,.$$
[/mm]
Aber: Ein Blick in die Aufgabenstellung:
> Bestimmen Sie die Menge
> {x∈R: |x−1|−|x−4|≥3}∩{x∈R: |x−2|−|x−3|≥1} als Intervall.
sagt Dir hier auch, dass Du nicht [mm] $=\{x \in \IR: \;\;x \ge 4\}$ [/mm] stehen lassen solltest,
denn man erwartet von Dir eine Intervallnotation! Was für eine Kleinigkeit
fehlt also noch?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Di 07.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Andere Möglichkeit:
1. Die Ungl. |x−1|−|x−4|≥3 ist äquivalent zu
3+|x-4| [mm] \le [/mm] |x-1|.
Wenn man quadiert, so bekommt man
[mm] 9+2|x-4|+x^2-8x+16 \le x^2-2x+1,
[/mm]
somit:
|x-4| [mm] \le [/mm] x-4.
Das ist gleichbedeutend mit x [mm] \ge [/mm] 4.
2. Verfährt man mit der 2. Ungl. |x−2|−|x−3|≥1 genauso, so bekommt man: x [mm] \ge [/mm] 3.
FRED
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