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| Aufgabe | Bestimmung einer ganzrationalen Funktion aus vorgegebenen Eigenschaften:
Bestimme eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und durch den Punkt A (0|4) geht und den Tiefpunkt B (2|0) hat. |
Mein Ansatz:
Da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist dürfen nur gerade Exponenten vorkommen
also f (x) = [mm] ax^4+bx²+c
[/mm]
aber wie verfahre ich weiter um a, b und c zu erfahren?
c müsste doch 4 sein wegen A (0|4), aber kann man das überhaupt so in der Form erkennen, da der Graph verschoben ist?
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Hey!
> Bestimmung einer ganzrationalen Funktion aus vorgegebenen
> Eigenschaften:
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> Bestimme eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph
> symmetrisch zur y-Achse ist und durch den Punkt A (0|4)
> geht und den Tiefpunkt B (2|0) hat.
> Mein Ansatz:
>
> Da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist dürfen
> nur gerade Exponenten vorkommen
>
> also f (x) = [mm]ax^4+bx²+c[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber wie verfahre ich weiter um a, b und c zu erfahren?
>
> c müsste doch 4 sein wegen A (0|4), aber kann man das
> überhaupt so in der Form erkennen, da der Graph verschoben
> ist?
Du hast drei Unbekannte. Also brauchst du auch drei Bedingungen.
Die erste ist, dass der Graph durch den Punkt (0/4) geht. Daraus folgt:
f(0)=4 [mm] \gdw a0^4+b0^2+c [/mm] = 4 [mm] \gdw [/mm] c=4
Also kannst du in gewisser Weise schon sagen, dass der Graph um genau 4 verschoben ist. Allerdings ist es besser, wenn du es immer so ordentlich aufschreibst wie ich immer.
Nun brauchst du allerdings noch zwei weitere Bedingungen. Findest du diese selber?
Es ist auch sinnvoll zu Beginn auch erstmal die Ableitung der allgemeinen Funktion aufzuschreiben. Da man manche Bedingungen auch in die Ableitungen einsetzen muss.
Wenn du nicht weiterkommst, kannst du ja gerne nochmal fragen.
Gruß Patrick
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der Punkt B gibt ja auch eine Nullstelle an und ist zugleich der Tiefpunkt (Scheitelpunkt?!)
Nullstellenberechnung:
[mm] ax^4+bx²+4 [/mm] = 0
aber wie gehts jetzt weiter? und vorallem was ist mit dem Tiefpunkt?
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Hey, bitte Fragen auch als Fragen hier im Forum stellen und nicht als Mitteilung.
Also zum einen weißt du ja, dass die Funktion durch den Punkt (2/0) geht, d.h. f(2)=0. So und jetzt geht es so, wie ich es vorhin aufgeschrieben habe. Für x 2 einsetzen und gleich Null setzen. Damit hast du deine zweite Bedingung.
Jetzt kommt der Tiefpunkt ins Spiel. An der Stelle 2 liegt also ein Tiefpunkt vor. Was heißt das für die Funktion? Richtig, die erste Ableitung ist an der Stelle Null. Also ist f'(2)=0 deine dritte Bedingung.
Nun hast du ein Gleichungssystem mit drei Gleichung und drei unbekannten....
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