Bestimmung des Kerns einer Abb < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Do 23.11.2006 | | Autor: | thisby |
| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] \IR^{2\times 2} [/mm] der quadratichen reellen zweireihigen Matrizen sei der Endomorphismus [mm] f\inEnd(\IR^{2\times 2}) [/mm] gegeben durch
[mm] f(X):=AX-(AX)^{t} [/mm] ; [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 0 }
[/mm]
Man bestimme Bild und Kern von f und zeige, dass sie eine direkte Zerlegung von R2×2 liefern.
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Wenn ich die Abbildung allgemein ausmultipliziere, so ergibt sich:
[mm] f(X)=\pmat{ 0 & -3x_{11}+x_{12}+2x_{22} \\ 3x_{11}-x_{12}-2x_{22} & 0 }
[/mm]
Zur ermittlung des Kerns muss ich doch eigentlich nur f(X)=0 setzten. Daraus folgt doch dass
der Ausdruck [mm] 3x_{11}-x_{12}-2x_{22} [/mm] Null sein muss.
Betrachte ich dass als ein LGS erhalte ich die Lösung :
[mm] \alpha\vektor{\bruch{1}{3} \\ 1\\0}+\beta\vektor{\bruch{2}{3} \\ 0\\1}. [/mm] Daraus ergibt sich das die Matrizen des Kerns der Form
[mm] \pmat{ \bruch{\alpha}{3}+\bruch{2\beta}{3} & \alpha \\ 0 & \beta } [/mm] entspricht.
Kann das richtig sein, oder bin ich total auf dem falschen Weg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo thisby,
dein Ansatz ist richtig, auch die Rechungen sind richtig. Du hast aber eine Kleinigkeit uebersehen, was zum Teil daher kommt, dass du [mm] x_{1,1}, x_{1,2} [/mm] und [mm] x_{2,2} [/mm] zu einem Vektor zusammengefasst hast.
Wenn du das Bild der Abbildung bestimmst, dann wirst du feststellen, dass es nur eindimensional ueber [mm] \IR [/mm] ist. Dir fehlst also noch eine Matrix im Kern, denn nach der Dimensionsformel muesste der Kern ueber [mm] \IR [/mm] die Dimension drei haben, bis jetzt hast du aber nur zwei reelle Parameter.
Wie wirkt sich denn [mm] x_{2,1} [/mm] auf das Bild aus?
Und schreib statt [mm] \alpha\cdot\pmat{\frac{1}{3}\\1\\0} [/mm] lieber [mm] \alpha\cdot\pmat{\frac{1}{3}&1\\0&0}
[/mm]
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 23.11.2006 | | Autor: | thisby |
Das Bild der Abbildung habe ich doch in allgemeiner Form durch [mm] f(X)=\pmat{ 0 & -3x_{11}+x_{12}+2x_{22} \\ 3x_{11}-x_{12}-2x_{22} & 0 } [/mm] schon gegeben.
[mm] x_{21} [/mm] hat keine Auswirkungen auf das Bild.
Dumme Frage: Das Bild ist eindimensional weil es die Form
[mm] \pmat{ 0 & \alpha \\ -\alpha & 0 } [/mm] hat?
Kann ich dann nur durch die noch nicht erfüllte Dimensionsformel schließen das mein Kern noch nicht vollständig ist, oder habe ich was falsch?
Ok. wenn [mm] x_{21} [/mm] keine Auswirkungen auf das Bild hat, so kann ich es auch frei wählen. Der Kern hätte dann die Form
[mm] \pmat{ \bruch{\alpha}{3}+\bruch{2\beta}{3} & \alpha \\ \gamma& \beta }
[/mm]
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Sorry fuer die lange Wartezeit...
...aber du liegst goldrichtig. 
Sehr gut gemacht.
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