Bestimmung der Symmetrie einer < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f_{a}(x) [/mm] = [mm] 0.125(x^3 [/mm] - [mm] 3ax^2 [/mm] + 3a^2x - 12x)
a) Untersuche die Schar auf Symmetrie zum Koordinatensystem |
Hallo!
Zur Überprüfung auf etwaige Symmetrien bedient man sich ja folgender Ansätze:
[mm] f_{a_{1}}(x) [/mm] = [mm] f_{a_{2}}(-x) [/mm] --> Überprüfung auf Symmetrie zur y-Achse
[mm] f_{a_{1}}(x) [/mm] = [mm] -f_{a_{2}}(x) [/mm] --> Überprüfung auf Symmetrie zur x-Achse
[mm] f_{a_{1}}(x) [/mm] = [mm] -f_{a_{2}}(-x) [/mm] --> Überprüfung auf Symmetrie zum Ursprung
Eingesetzt ergibt das dann z.B. folgendes:
[mm] f_{a_{1}}(x) [/mm] = [mm] f_{a_{2}}(-x)
[/mm]
[mm] 0.125(x^3 [/mm] - [mm] 3a_{1}x^2 [/mm] + [mm] 3a_{1}^2x [/mm] - 12x) = [mm] 0.125(-x^3 [/mm] - [mm] 3a_{2}x^2 [/mm] - [mm] 3a_{2}^2x [/mm] + 12x)
Doch wie hilft mir dies nun weiter? Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi, Christoph,
> Gegeben ist die Funktionsschar [mm]f_{a}(x)[/mm] = [mm]0.125(x^3[/mm] - [mm]3ax^2[/mm]
> + 3a^2x - 12x)
> a) Untersuche die Schar auf Symmetrie zum
> Koordinatensystem
> Hallo!
>
> Zur Überprüfung auf etwaige Symmetrien bedient man sich ja
> folgender Ansätze:
> [mm]f_{a_{1}}(x)[/mm] = [mm]f_{a_{2}}(-x)[/mm] --> Überprüfung auf Symmetrie
> zur y-Achse
> [mm]f_{a_{1}}(x)[/mm] = [mm]-f_{a_{2}}(x)[/mm] --> Überprüfung auf Symmetrie
> zur x-Achse
Was für FUNKTIONS(!)graphen kennst Du denn, die zur X-ACHSE symmetrisch sind? (Ich kenn' nur EINEN mit [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR.)
[/mm]
> [mm]f_{a_{1}}(x)[/mm] = [mm]-f_{a_{2}}(-x)[/mm] --> Überprüfung auf
> Symmetrie zum Ursprung
(Deine Indizes [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] führen mich übrigens zu der Überzeugung, dass Du "Symmetrie" mit "Spiegelung" verwechselst!)
Also: Es geht natürlich nur darum, ob die Graphen symmetrisch zur y-Achse sind oder punktsymmetrisch zum Ursprung!
Und bei ganzrationalen Funktionen verwendet man hierbei folgende Regeln:
(1) Nur ungerade x-Potenzen (und keine additive Konstante!)
=> Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
(2) Nur gerade x-Potenzen (und ggf. eine additive Konstante)
=> Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Bei Deiner Funktionsschar hast Du immer Funktionen 3.Grades vorliegen; daher ist Achsensymmetrie von vornherein auszuschließen.
Aber auch Punktsymmetrie liegt nur bei einer einzigen Funktion der Schar vor, nämlich bei [mm] f_{0}; [/mm] also für a=0.
Warum? Weil nur hier die "störende" (gerade !) x-Potenz [mm] x^{2} [/mm] wegfällt:
[mm] f_{0}(x) [/mm] = [mm] 0,125*(x^{3} [/mm] - 12x).
Für a [mm] \not= [/mm] 0 aber ist keiner der Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Danke für deine Hilfe, aber zu dem Teil
> Was für FUNKTIONS(!)graphen kennst Du denn, die zur X-ACHSE
> symmetrisch sind? (Ich kenn' nur EINEN mit [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR.)[/mm]
hätte ich noch eine Frage: Mir ist natürlich klar, dass Funktionsgrafen selber nie achsensymmetrisch zur x-Achse sein können, aber die einzelnen Funktionen einer Schar können sehr wohl symmetrisch zur x-Achse sein. Beispiel: [mm] f_{a}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + a
|
|
|
| |
|
Hallo Christoph,
das hat Erwin doch auch gar nicht gesagt. Es geht nur darum, dass man soetwas wie Symmetrie zur x-Achse nicht untersucht, weil es keinen Sinn macht. Eine Funktion darf nicht symmetrisch zur x-Achse sein, dann wäre sie nämlich keine Funktion, da eine Funktio an keiner Stelle x zwei verschiedene Funktionswerte annehmen darf, zumindest so wie du sie kennst. Der Kreis hingegen ist natürlich auf gewisse Weise auch eine Funktion, aber von mehreren Veränderlichen anhängig. Das soll aber nicht deine Sorge sein.
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
Hi, Christoph,
> hätte ich noch eine Frage: Mir ist natürlich klar, dass
> Funktionsgrafen selber nie achsensymmetrisch zur x-Achse
> sein können, aber die einzelnen Funktionen einer Schar
> können sehr wohl symmetrisch zur x-Achse sein.
Das ist ein Widerspruch! Ob einzelne Funktion oder Teil einer Schar: Symmetrie zur x-Achse gibt es nur beim Graphen EINER EINZIGEN FUNKTION: f(x) = 0.
Beispiel:
> [mm]f_{a}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{a}[/mm] * [mm]x^2[/mm] + a
Deren Graph ist symmetrisch zur y-Achse, NICHT zur x-Achse! Zeichne die Parabel mal: Die sieht über der x-Achse ganz anders aus als drunter!
Ein Kreis wie z.B. [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 4 ist zwar symmetrisch zur x-Achse, aber KEINE Funktion, sondern lediglich RELATION!
Und nochmal: Verwechsle nicht Symmetrie mit Spiegelung!
Du kannst den Graphen von f(x) = [mm] x^{2} [/mm] an der x-Achse spiegeln; dann entsteht eine NEUE Funktion, sagen wir g(x) = [mm] -x^{2}.
[/mm]
Der Graph von f ist dennoch nicht symmetrisch zur x-Achse; lediglich die Graphen der BEIDEN (!) Funktionen verhalten sich wie Bild und Spiegelbild.
Dies ist jedoch bei der Frage nach der Symmetrie NIEMALS gemeint!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
