Bestimmung aller Fkt. mit Bed. < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Sa 12.01.2008 | | Autor: | florspi |
| Aufgabe | "Bestimmen sie alle ungerade, ganzrationalen Funktionen dritten Grades mit f(3) = 3
A) Welche dieser Funktionen besitzen eine waagerechte Wendetangente?
B) Welche dieser Funktionen besitzen ein lokales Maximum?" |
Es geht um ungerade Fkt., interessant ist also nur noch y = ax³+bx
A) ist klar, da f''(x) = 0 = 6ax
a != 0; weil 3. Grad --> x = 0 ---> Wendepunkt muss bei x = 0 sein --> waagerechte Wendetangente: f'(x) = 0 = 3ax² + b
--> 0 = 3a0² + b; b = 0
also f(3) = 3 = 3³a --> a = 1/9 ==> nur die Funktion f(x) = 1/9 x³ erfüllt die Bedingung.
Bei B) hab ich folgendes Problem: sobald es ein b gibt, hat die Funktion ein Min. und ein Max. --> welchen Sinn hat also die Frage?
LG
florspi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> "Bestimmen sie alle ungerade, ganzrationalen Funktionen
> dritten Grades mit f(3) = 3
> A) Welche dieser Funktionen besitzen eine waagerechte
> Wendetangente?
> B) Welche dieser Funktionen besitzen ein lokales
> Maximum?"
> Es geht um ungerade Fkt., interessant ist also nur noch y
> = ax³+bx
> A) ist klar, da f''(x) = 0 = 6ax
> a != 0; weil 3. Grad --> x = 0 ---> Wendepunkt muss bei x
> = 0 sein --> waagerechte Wendetangente: f'(x) = 0 = 3ax² +
> b
> --> 0 = 3a0² + b; b = 0
> also f(3) = 3 = 3³a --> a = 1/9 ==> nur die Funktion f(x)
> = 1/9 x³ erfüllt die Bedingung.
Entschuldige, aber ich finde deine Notation etwas wirr um ehrlich zu sein...
Ich würde damit beginnen ersteinmal die Funktion allgemein zu bestimmen, also:
f(3)=3
[mm] 3=a*3^{3}+b*3 [/mm] |auflösen nach "a" oder "b", ich nehme mal b
b=1-9*a
Also entspricht die Funktion:
[mm] f(x)=a*x^{3}+(1-9*a)+x
[/mm]
Jetzt soll ne waagerechte Wendetangente vorliegen, also muss gelten:
f'(x)=0 und f''(x)=0
Wie dem auch sei, ich würde das ganze einfach, des Verständnisses wegen etwas geordneter aufschreiben, [mm] a=\bruch{1}{9} [/mm] ist richtig.
> Bei B) hab ich folgendes Problem: sobald es ein b gibt, hat
> die Funktion ein Min. und ein Max. --> welchen Sinn hat
> also die Frage?
Wieso sobald es ein "b" gibt ? s.o. kann man die Funktion so bestimmen, dass es kein b gibt.
Die Nullstellen der ersten Ableitung sind:
[mm] x_{1}=\bruch{\wurzel{3*(9*a-1)}}{3*\wurzel{a}}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{-\wurzel{3*(9*a-1)}}{3*\wurzel{a}}
[/mm]
Jetzt musst du [mm] f''(x_{1;2}) [/mm] berechnen und sehen für welchen Wert von a das ganze größer oder kleiner Null ist.
> LG
> florspi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
exeqter
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