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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen!
Ich habe einige Schwierigkeiten eine Aufgabe zu lösen, die man uns in einer Hausaufgabe gestellt hat, ich hoffe man kann mir helfen!?
Ich habe eine symmetrische Matrix [mm]A \in R^{nxn}[/mm] gegeben, deren Eigenwerte [mm] \lambda_{1},
., \lambda_{n}[/mm] alle verschieden sind und ungleich 0.
Weiterhin sei [mm] v_{1} [/mm] der normierte Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm]\lambda_{1}[/mm]. Definiert wird die Matrix [mm]A_{1} \equiv A- \sigma v_{1} v_{1}^{T}[/mm], wobei [mm] \sigma \in R [/mm]. Nun soll ich zeigen, dass die Eigenwerte von [mm] A_{1} [/mm] gegeben sind durch [mm] \lambda_{1}- \sigma, \lambda_{2},
, \lambda_{n}[/mm].
Ich finde hier keinen richtigen Anfang, ich habe das zwar mal aufgeschrieben, aber das sieht alles sehr wüst aus. Vielleicht hat jemand einen Tipp?
Dann soll ich noch zu einer Routine Mises (B), welche den betragsgrößten Eigenwert einer symmetrischen Matrix [mm]B \in R^{nxn}[/mm] ausgibt, falls dieser eindeutig ist, einen Algorithmus konstruieren, der alle Eigenwerte von A bestimmt.
Hierzu habe ich leider gar keine Idee. Ich hoffe auf ein Paar Tipps, im Voraus Danke an alle!
Joergi
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Hallo!
Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe ist es wichtig zu wissen, dass man aus den Eigenvektoren von symmetrischen Matrizen stets eine Orthonormalbasis bilden kann.
Und zu deinem Algorithmus: Die Eigenwerte, die dir nach dem ersten Schritt noch fehlen, sind auch Eigenwerte von [mm] $A_1$...
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo und danke, dass Du versuchst mir zu helfen!
Also, wenn die Spalten von [mm]v_{i}[/mm] [mm]i=1,2,...,n[/mm] eine Orthonormalbasis bilden, dann gilt doch auf jeden Fall [mm]vv^{T}=I[/mm].
Muss ich jetzt dann nur noch die Matrix [mm]A-\sigma[/mm] betrachten?
Anschließend [mm]det((A- \sigma)- \lambda*I)[/mm] bilden um die Eigenwerte von [mm]A_{1}[/mm] zu berechnen? Oder wie muss ich den Ausdruck [mm] \sigma*v*v^{T}[/mm] verstehen?
Danke
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Hallo joergi!
Du hast die Eigenpaare [mm] $(\lambda_1,v_1),\dots, (\lambda_n,v_n)$. [/mm] Aus der Theorie der symmetrischen Matrizen ergibt sich, dass die [mm] $\lambda_i$ [/mm] alle reell sind und dass man die [mm] $v_i$ [/mm] so wählen kann, dass sie orthonormal sind. o.B.d.A. soll [mm] $\lambda_1>\lambda_2>\dots>\lambda_n$ [/mm] gelten.
Bilde die Matrix [mm] $A_1:=A-\sigma v_1v_1^T$. [/mm] Wende hierauf deine ONB an. Du wirst sehen, dass du genau dieselben Eigenvektoren hast wie vorher, nur deine Eigenwerte haben sich leicht verschoben.
Im Algorithmus musst du dann immer [mm] $\sigma=\lambda_i$ [/mm] setzen. So kannst du künstlich einen Eigenwert nach dem anderen zum größten einer neuen Matrix [mm] $A_i$ [/mm] machen und so alle herausfinden!
Ist es jetzt etwas klarer geworden?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Di 26.04.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
ich versuche zuerst mal die Matrix aufzuschreiben:
[mm]A = \pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}}[/mm] und da [mm]v_{1}[/mm] ja normierter EV von A ist, kann ich doch [mm]v_{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ ... \\0}[/mm] wählen, und [mm]v_{1}^{T} = (1, 0, .., 0)[/mm] wählen.
Also ist [mm] \sigma*v_{1}*v_{1}^{T} = \pmat{ \sigma & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0}[/mm]
Somit erhalte ich also, wenn das nicht alles Blödsinn ist:
[mm]A_{1} \equiv A- \sigma*v_{1}*v_{1}^{T} = \pmat{ a_{11}- \sigma & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}}[/mm].
Ich hoffe, dass das stimmt. Wenn ja, wie muss ich jetzt eine ONB anwenden?
Danke für Eure Hilfe
Liebe grüße
Joergi
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Hallo Jörg!
Leider kannst du nicht [mm] $v_1=\vektor{1\\0\\\vdots\\0}$ [/mm] wählen, dazu müssten [mm] $a_{12},\dots,a_{1n}=0$ [/mm] sein. Außerdem gilt immer [mm] $a_{mn}=a_{nm}$.
[/mm]
Aber versuchen wir doch lieber, uns um eine konkrete Darstellung herumzudrücken, Indizes verkomplizieren die Lage nur. Also:
Sei [mm] $A\in\IR^{n\times n}$ [/mm] symmetrisch und die Eigenwerte paarweise verschieden. Wir bezeichnen die Eigenpaare mit [mm] $(\lambda_i;v_i)$, [/mm] wobei [mm] $\lambda_1>\lambda_2>\dots>\lambda_n$ [/mm] und [mm] $\|v_i\|=1$. [/mm] Die [mm] $v_i$ [/mm] bilden also eine ONB.
Sei jetzt [mm] $A_1:=A-\sigma v_1v_1^T$, [/mm] wobei [mm] $\sigma\in\IR$.
[/mm]
Was passiert, wenn wir [mm] $A_1$ [/mm] auf [mm] $v_1$ [/mm] anwenden?
[mm] $A_1v_1=Av_1-\sigma v_1v_1^Tv_1=\lambda_1v_1-\sigma v_1=(\lambda_1-\sigma)v_1$.
[/mm]
Und für $i>1$?
[mm] $A_1v_i=Av_i-\sigma v_1v_1^Tv_i\stackrel{\langle v_1;v_i\rangle=0}=\lambda_iv_i$.
[/mm]
Folglich sind [mm] $v_1,\dots,v_n$ [/mm] auch Eigenvektoren von [mm] $A_1$, [/mm] aber die Eigenwerte sind [mm] $\lambda_1-\sigma,\lambda_2,\dots,\lambda_n$.
[/mm]
Jetzt zu deinem Algorithmus. Damit dieser klappt, sollte die Subroutine stets den betragsgrößten Eigenwert und den zugehörigen auf 1 normierten Eigenvektor ausgeben. Diesen Subalgorithmus werde ich mit $EWMAX$ bezeichnen, also [mm] $EWMAX(A)\to (\lambda_1,v_1)$
[/mm]
[mm] $\tt{BEGIN}$
[/mm]
[mm] $\tt{Liste\leftarrow \emptyset}$
[/mm]
[mm] $\tt{FOR\ i=1\ to\ n\ DO}$
[/mm]
[mm] $\tt{(EW(A),EV(A))\leftarrow EWMAX(A)}$
[/mm]
[mm] $\tt{Liste\leftarrow EW(A)}$
[/mm]
[mm] $\tt{A\leftarrow A-EW(A)EV(A)EV(A)^T}$
[/mm]
[mm] $\tt{END}$
[/mm]
[mm] $\tt{END}$
[/mm]
Ausgegeben wird dann die Liste der Eigenwerte von $A$.
Ich hoffe, dass dich das ein bisschen weiter bringt...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Di 26.04.2005 | | Autor: | Joergi |
Vielen Dank an alle, die sich die Mühe gemacht haben, besonders an Banachella, die nicht die Geduld verloren hat 
Gruß
Jörg
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