Bestimmung Supremum/Infimum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Aufgabe-zum-SupremumInfimum
Hallo,
ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich vorgehen soll:
Ich soll zu [mm] $M:=\{2^{-m}+n^{-1} : m,n \in N^{\ge1}\}
[/mm]
gegebenfalls das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum in R angeben.
Ich hoffe mir kann jemand detailiert erklären wie man das macht.
Mfg Duckx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Do 25.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Aufgabe-zum-SupremumInfimum
>
> Hallo,
> ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich
> vorgehen soll:
>
> Ich soll zu [mm]$M:=\{2^{-m}+n^{-1} : m,n \in N^{\ge1}\}[/mm]
>
> gegebenfalls das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum in
> R angeben.
>
> Ich hoffe mir kann jemand detailiert erklären wie man das
> macht.
Hallo,
der erste Summand kann sein: [mm]\bruch12[/mm], [mm]\bruch14[/mm], [mm]\bruch18[/mm]..., und der zweite Summand kann sein [mm]\bruch11[/mm], [mm]\bruch12[/mm], [mm]\bruch13[/mm]...
Suche nun nach den kleinst- bzw. größtmöglichen Ergebnissen und betrachte anhand der Definitionen, wann Inf=Min gilt und wann nicht bzw. wann Sup=Max gilt und wann nicht.
Gruß Abakus
> Mfg Duckx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo,
wenn m=1 und n=1
dann ist M=1,5
wenn m und n gegen unendlich streben, dann strebt M auch gegen 0.
Ich kenne leider die Definition von dem Supremum und Infimum nicht.
Ich würde sagen, dass M=1,5 das Supremum und gleichzeitig das Maxiumum ist.
Das Infimum ist 0 und es gibt kein Minimum, da M gegen 0 strebt aber niemals 0 wird?
Ich weiß wirklich nicht, wie genau man das mathematisch korrekt aufschreibt und beweist.
mfg Duckx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Duckx,
> wenn m=1 und n=1
> dann ist M=1,5
Das ist Unsinn. M ist eine Menge aber keine Zahl! Du meinst 1,5 liegt in M und alle anderen Elemente von M sind kleiner als 1,5.
> wenn m und n gegen unendlich streben, dann strebt M auch
> gegen 0.
Auch das ist Unsinn. M ist eine Menge aber keine Zahlenfolge!
>
> Ich kenne leider die Definition von dem Supremum und
> Infimum nicht.
> Ich würde sagen, dass M=1,5 das Supremum und gleichzeitig
> das Maxiumum ist.
Dies ist zwar richtig, aber die Begründung fehlt natürlich ohne Kenntnis der Definitionen.
> Das Infimum ist 0 und es gibt kein Minimum, da M gegen 0
> strebt aber niemals 0 wird?
Nicht M strebt gegen 0, sondern eine Folge von Elementen in M tut dies. Gib doch mal so eine Folge an!
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Duckx,
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Aufgabe-zum-SupremumInfimum
>
> Hallo,
> ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich
> vorgehen soll:
>
> Ich soll zu [mm]$M:=\{2^{-m}+n^{-1} : m,n \in N^{\ge1}\}[/mm]
>
> gegebenfalls das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum in
> R angeben.
>
> Ich hoffe mir kann jemand detailiert erklären wie man das
> macht.
> Mfg Duckx
Das Supremum ist die kleinste obere Schranke von M und das Infimum ist die größte untere Schranke von M.
Zum Infimum: Beachte, daß alle Elemente von M positiv sind. Damit ist schon mal 0 eine untere Schranke. Ist 0 auch die größte untere Schranke? Wenn ja, ist 0 das Infimum. Ist 0 ein Element von M? Wenn nein, hat M kein Minimum.
Zum Supremum: [mm] $2^{-m}$ [/mm] ist höchstens 1/2 und [mm] $n^{-1}$ [/mm] ist höchstens 1. Damit ist 1,5 eine obere Schranke von M. Und jetzt wieder die Fragen: Gibt es eine kleinere obere Schranke von M? Wenn nein, so ist 1,5 das Supremum. Liegt 1,5 in M? Wenn ja, so ist 1,5 das Maximum von M.
Grüße,
Wolfgang
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