Bestimmung Supremum, Infimum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen !
Wäre nett, wenn mir wieder einer helfen könnte, hab mal wieder absolut keinen Plan ...
Also folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie (falls vorhanden) Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der Menge M = { [mm] n^{-1} [/mm] + [mm] 2^{-m}; [/mm] n,m e N }. Mit Beweis !
Wäre nett, wenn mir das einer hier erklären könnte, da ich das noch nie in der Art gemacht habe.
Die Definitionen von Supremum, Minimum, ... kenn ich zwar, aber leider weiß ich nicht, wie ich das in diesem konkreten Fall anzuwenden habe ... !? Wäre nett, wenn mir das einer einigermassen verständlich erklären könnte !
Danke schon mal jetzt !
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Hallo Julchen!
Es ist immer hilfreich, sich zunächst mal die ersten Elemente der Menge anzusehen.
Dabei kann man zunächst beide Teilmengen separat betrachten:
[mm] $n^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] \ : \ 1; \ [mm] \bruch{1}{2}; [/mm] \ [mm] \bruch{1}{3}; [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}; [/mm] \ ...$
[mm] $2^{-m} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2^m} [/mm] \ : \ [mm] \bruch{1}{2}; [/mm] \ [mm] \bruch{1}{4}; [/mm] \ [mm] \bruch{1}{8}; [/mm] \ [mm] \bruch{1}{16}; [/mm] \ ...$
Welches Supremum bzw. Infinum haben diese beiden Teilmengen?
Sind denn diese Werte (Supremum bzw. Infinum) auch Elemente der Mengen? Dann handelt es sich auch um ein Maximum bzw. Minimum.
Für den Beweis z.B. des Infinums musst Du dann folgendes zeigen ($Inf \ = \ 0$, soviel verrate ich mal  ) :
[mm] $n^{-1} [/mm] + [mm] 2^{-m} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^m} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ [mm] $\forall [/mm] \ n, \ m \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo !
Erstmal danke dafür ! Ich gaub in den Grundzügen hab ichs jetzt schon kapiert (hoff ich ...)
Also die Teilmenge 1 ( [mm] n^{-1} [/mm] ):
Supremum : 1 , gleichzeitig Maximum
Infimum: 0, aber kein Minimum
Teilmenge 2:
Supremum: 1/2 , gleichzeitig Maximum
Infimum: 0, kein Minimum
Ok, wenn das jetzt stimmt, hab ich das glaub ich kapiert ...
Als nächstes hast du geschrieben, dass ich , wenn ich das Infimum zeigen willll: n^-1 + 2^-m > 0 zeigen muss !
Ok, hab die Ungleichung aufgelöst: [mm] 2^m [/mm] + n > 0 und das ist ja immer der Fall, oder !?
Wie aber bweise ich das mit dem Supremum ?
Setze ich n^-1 + 2^-m < 1,5 ... ?
Und wie bewiese ich das mit dem Maximum / Minimum ? Minimum : Setze ich die ganze Ungleichung einfach 0 ?
Und das mit Maximum ?
Vielleicht kann mir das hier einer noch mal versuchen, zu erklären !
Vielen Dank schon mal jetzt für eure Mühen !
Viele liebe Grüße !
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Guten Morgen Julchen!
> Also die Teilmenge 1 ( [mm]n^{-1}[/mm] ):
> Supremum : 1 , gleichzeitig Maximum
> Infimum: 0, aber kein Minimum
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Teilmenge 2:
> Supremum: 1/2 , gleichzeitig Maximum
> Infimum: 0, kein Minimum
> Als nächstes hast du geschrieben, dass ich , wenn ich das
> Infimum zeigen willll: n^-1 + 2^-m > 0 zeigen muss !
> Ok, hab die Ungleichung aufgelöst: [mm]2^m[/mm] + n > 0 und das ist
> ja immer der Fall, oder !?
Genau, da ja gilt: [mm] $2^m [/mm] \ > \ 0$ sowie $n \ > \ 0$ [mm] $\forall [/mm] \ m,n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $2^m+n [/mm] \ > \ 0 + 0 \ = \ 0$ [mm] $\forall [/mm] \ m,n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$
[/mm]
> Wie aber bweise ich das mit dem Supremum ?
> Setze ich n^-1 + 2^-m < 1,5 ... ?
Betrachte die Einzelmengen und beweise separat.
> Und wie bewiese ich das mit dem Maximum / Minimum ?
> Minimum : Setze ich die ganze Ungleichung einfach 0 ?
Oder Du erweiterst aus [mm] $\blue{>}$ [/mm] zu [mm] $\red{\ge}$ [/mm] beim Nachweis des Infinum's.
> Und das mit Maximum ?
Ein Maximum (und nicht nur Supremum) liegt vor, wenn gilt:
[mm] $a_n [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ Max$
Bei Supremum gilt halt: [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \blue{<} [/mm] \ Sup$
Gruß vom
Roadrunner
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