Bestimmung Bildmaß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] (\IR,\mathcal{B},\mu) [/mm] der Maßraum des Borel-Lebesque Maßes [mm] \mu. [/mm] T: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei eine konstante Abbildung mit T(x) = 2. Bestimmen das Bildmaß [mm] \mu_{T}. [/mm] |
Hallo an alle,
Ich glaube die Aufgabe ist ziemlich einfach, ich arbeite mich aber gerade erst in die Maßtheorie ein und deshalb noch ein wenig unsicher.
Erstmal würde ich sagen, dass das Bildmaß existiert, da T eine konstante Funktion also stetig ist, und damit ist T auch messbar. Bei der Bestimmung bin ich jetzt ein wenig unsicher. Intuitiv müßte [mm] \mu_{T} [/mm] doch Null sein, da alle x auf den konstanten Wert 2 abgebildet werden, d.h. [mm] \mu_{T}(A)= \mu_{T}([2,2]) [/mm] = 2-2=0, oder?
Kann ich das korrekter so ausdrücken?
Es ist per Def. für ein A im Bildraum [mm] \mu_{T}(A) [/mm] = [mm] \mu(T^{-1}(A)) [/mm] = [mm] \mu([a,a)) [/mm] = 0.
Vielen Dank, Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Erstmal würde ich sagen, dass das Bildmaß existiert, da T
> eine konstante Funktion also stetig ist, und damit ist T
> auch messbar. Bei der Bestimmung bin ich jetzt ein wenig
> unsicher. Intuitiv müßte [mm]\mu_{T}[/mm] doch Null sein, da alle x
> auf den konstanten Wert 2 abgebildet werden, d.h.
> [mm]\mu_{T}(A)= \mu_{T}([2,2])[/mm] = 2-2=0, oder?
warum sollte [mm] $\mu_T(A) [/mm] = [mm] \mu_T([2,2])$ [/mm] sein und warum sollte letzteres gleich $2 - 2$ sein (das gilt doch bei beliebigen maßen nicht)?
> Kann ich das korrekter so ausdrücken?
> Es ist per Def. für ein A im Bildraum [mm]\mu_{T}(A)[/mm] =
> [mm]\mu(T^{-1}(A))[/mm] = [mm]\mu([a,a))[/mm] = 0.
schau dir mal diese definition an und untersuche, was [mm] $T^{-1}(A)$ [/mm] ist - mache dabei eine fallunterscheidung zwischen $2 [mm] \in [/mm] A$ und $2 [mm] \not\in [/mm] A$.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
vielen Dank für deinen Tip. Der Bildraum selbst, besteht doch nur aus den Mengen {{2}, [mm] \emptyset}. [/mm] Da T(x) = c ist für alle x [mm] \in \IR, [/mm] muss deshalb [mm] T^{-1}(A) [/mm] mit 2 [mm] \not\in [/mm] A also die [mm] \emptyset [/mm] sein (in [mm] \mathcal{B}) [/mm] und wenn 2 [mm] \in [/mm] A alle anderen Mengen in [mm] \mathcal{B} [/mm] oder ist es nur [mm] \IR? [/mm] Korrekt? Also ist [mm] \mu_{T} [/mm] = 0 oder [mm] \mu_{T} [/mm] = [mm] \infty? [/mm] Sehe ich das falsch.
Danke für die Hilfe,
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 06.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Hallo Andreas,
> vielen Dank für deinen Tip. Der Bildraum selbst, besteht
> doch nur aus den Mengen [mm]{{2}, \emptyset}.[/mm]
naja. das bildmaß soll aber am ende auf der gesamten [mm] $\sigma$-algebra [/mm] definiert sein...
> Da T(x) = c ist
> für alle x [mm]\in \IR,[/mm] muss deshalb [mm]T^{-1}(A)[/mm] mit 2 [mm]\not\in[/mm] A
> also die [mm]\emptyset[/mm] sein (in [mm]\mathcal{B})[/mm] und wenn 2 [mm]\in[/mm] A
> alle anderen Mengen in [mm]\mathcal{B}[/mm] oder ist es nur [mm]\IR?[/mm]
> Korrekt? Also ist [mm]\mu_{T}[/mm] = 0 oder [mm]\mu_{T}[/mm] = [mm]\infty?[/mm] Sehe
> ich das falsch.
also ganz falsch ist es nicht, aber eben auch nicht ganz richtig, schon alleine deshalb, weil du dir unsicher bist. du solltest am ende von deiner lösung selbst überzeugt sein. schau dir am besten nochmal die definition des urbildes an und ergänze dann folgendes:
[m] T^{-1}(A) = \begin{cases} ? & \textrm{ wenn } 2 \in A \\ ? & \textrm{ wenn } 2 \not\in A \end{cases} [/m] (einfach draufklicken, quelltext kopieren und ? ersetzen).
grüße
andreas
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Hallo,
Ehrlich gesagt, hast du mich noch mehr verwirrt. Dann also nach Def. (für diesen Fall): [mm] T^{-1}(A):= \{x \in \IR | T(x) \in A \}
[/mm]
[m]T^{-1}(A) = \begin{cases} \IR & \textrm{ wenn } 2 \in A \\ \emptyset \textrm{ wenn } 2 \not\in A \end{cases}[/m]
Aber das heißt doch, dass die [mm] sigma-Algebra:=\{\emptyset,\{2 \} \}. [/mm]
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Di 06.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ehrlich gesagt, hast du mich noch mehr verwirrt.
das war natürlich nicht meine absicht. also hier mal ein klärungsversuch:
> Dann also
> nach Def. (für diesen Fall): [mm]T^{-1}(A):= \{x \in \IR | T(x) \in A \}[/mm]
>
> [m]T^{-1}(A) = \begin{cases} \IR & \textrm{ wenn } 2 \in A \\ \emptyset & \textrm{ wenn } 2 \not\in A \end{cases}[/m]
genau.
> Aber das heißt doch, dass die
> [mm]sigma-Algebra:=\{\emptyset,\{2 \} \}.[/mm]
überlege dir mal, dass das keine [mm] $\sigma$-algebra [/mm] ist. ich weiß jetzt nicht, auf welche [mm] $\sigma$-algebra [/mm] du hinaus willst. ich hatte die aufgabe so verstanden, dass du eine abblidung von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] betrachtest, wobei dies jeweils mit der [mm] $\sigma$-algebra $\mathcal{B}$ [/mm] ausgestattet ist und du nur die werte des bildmaßes bestimmen sollst.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
> hi
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> > Ehrlich gesagt, hast du mich noch mehr verwirrt.
>
> das war natürlich nicht meine absicht. also hier mal ein
> klärungsversuch:
>
>
> > Dann also
> > nach Def. (für diesen Fall): [mm]T^{-1}(A):= \{x \in \IR | T(x) \in A \}[/mm]
>
> >
> > [m]T^{-1}(A) = \begin{cases} \IR & \textrm{ wenn } 2 \in A \\ \emptyset & \textrm{ wenn } 2 \not\in A \end{cases}[/m]
>
> genau.
gut, das reicht doch schon, um den Beweis zu führen, da [mm] \mu_{T} [/mm] doch eindeutig durch [mm] \mu [/mm] festgelegt wird.
> > Aber das heißt doch, dass die
> > [mm]sigma-Algebra:=\{\emptyset,\{2 \} \}.[/mm]
>
> überlege dir mal, dass das keine [mm]\sigma[/mm]-algebra ist. ich
> weiß jetzt nicht, auf welche [mm]\sigma[/mm]-algebra du hinaus
> willst. ich hatte die aufgabe so verstanden, dass du eine
> abblidung von [mm]\mathbb{R}[/mm] nach [mm]\mathbb{R}[/mm] betrachtest, wobei
> dies jeweils mit der [mm]\sigma[/mm]-algebra [mm]\mathcal{B}[/mm]
> ausgestattet ist und du nur die werte des bildmaßes
> bestimmen sollst.
Hier muss ich noch mal nachhaken. Die Abbildung ist doch von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] welches die Grundmengen darstellen. Da T eine konstante Funktion ist, werden alle x auf 2 projeziert, d.h. ich habe doch eigentlich eine Abbildung von [mm] \IR [/mm] -> 2. Ich habe die ganze Sache mit den Bildmaßen jetzt so verstanden, dass die über einer sigma-Algebra auf der Grundmenge des Wertebereichs definiert sind (also hier 2 bzw. in anderen Fällen kann das ja wieder [mm] \mathcal{B} [/mm] sein, wie bei der Identität z.B.; allgemein dachte ich, das im Falle T: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] die sigma-Algebra des Bildbereichs einfach eine Teilmenge von [mm] \mathcal{B} [/mm] ist). So bin ich dann auf [mm] \{\emptyset,\{2\}\} [/mm] gekommen, dass ist ja einfach die Potenzmenge der Menge [mm] \{2\} [/mm] und deshalb auch eine sigma-Algebra. Vielleicht habe ich das Skript aber auch komplett falsch verstanden.
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mi 07.11.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen Steffen,
> Hier muss ich noch mal nachhaken. Die Abbildung ist doch
> von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR,[/mm] welches die Grundmengen darstellen.
genau so ist es!
> Da T eine konstante Funktion ist, werden alle x auf 2
> projeziert, d.h. ich habe doch eigentlich eine Abbildung
> von [mm]\IR[/mm] -> 2.
Nein. Es ist eine Abbildung $T [mm] \colon \IR \to \IR$, [/mm] wie du oben korrekt ausgeführt hast. Das heißt, die Wertmenge ist [mm] $\IR$. [/mm] Der Bildbereich (das Bild der Definitionsmenge unter T) besteht tatsächlich nur aus der 2, aber das sind verschiedene Dinge, die du nicht verwechseln darfst.
> Ich habe die ganze Sache mit den Bildmaßen
> jetzt so verstanden, dass die über einer sigma-Algebra auf
> der Grundmenge des Wertebereichs definiert sind
das stimmt.
> (also hier 2
nein, das ist [mm] $\mathcal{B}$.
[/mm]
> bzw. in anderen Fällen kann das ja wieder [mm]\mathcal{B}[/mm]
> sein, wie bei der Identität z.B.; allgemein dachte ich, das
> im Falle T: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] die sigma-Algebra des Bildbereichs
> einfach eine Teilmenge von [mm]\mathcal{B}[/mm] ist). So bin ich
> dann auf [mm]\{\emptyset,\{2\}\}[/mm] gekommen, dass ist ja einfach
> die Potenzmenge der Menge [mm]\{2\}[/mm] und deshalb auch eine
> sigma-Algebra. Vielleicht habe ich das Skript aber auch
> komplett falsch verstanden.
Ich habe eher den Eindruck, daß du fast alles richtig verstanden hast, bis auf eben diese o.g. Kleinigkeit.
Damit solltest du das Bildmaß jetzt auch angeben können, oder?
Gruß
Will
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Hallo,
naja, wenn 2 [mm] \in [/mm] A ist, dann ist [mm] \mu_{T} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und wenn 2 [mm] \notin [/mm] A dann [mm] \mu_{T} [/mm] = 0.
Grüße,
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Mi 07.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> naja, wenn 2 [mm]\in[/mm] A ist, dann ist [mm]\mu_{T}[/mm] = [mm]\infty[/mm] und wenn
> 2 [mm]\notin[/mm] A dann [mm]\mu_{T}[/mm] = 0.
im Prinzip richtig, formal kannst du das natürlich so nicht schreiben, weil [mm]\mu_{T}[/mm] eine Abbildung ist und kein Funktionswert.
$ [mm] \mu_T(A) [/mm] = [mm] \begin{cases} \infty & \textrm{ wenn } 2 \in A \\ 0 & \textrm{ wenn } 2 \not\in A \end{cases} [/mm] $
Gruß
Will
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