Bestimmung Basis / kompl. UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien die folgenden Untervektorräume von [mm] C^4 [/mm] gegeben:
[mm] U_1 [/mm] := [ [mm] \pmat{3\\2\\4\\i}, \pmat{1\\1\\1\\0}] [/mm] und [mm] U_2 [/mm] := [mm] [\pmat{1\\2\\2\\i}, \pmat{0\\2-i\\1\\i}]
[/mm]
Bestimmen Sie jeweils eine Basis von [mm] (U_1 [/mm] + [mm] U_2)/(U_1 \cap U_2) [/mm] und [mm] C^4/U_2 [/mm] und finden Sie einen zu [mm] U_1 [/mm] komplementären Untervektorraum. |
Hallo!
Ich bin so vorgegangen:
Zur Bestimmung der Basis von [mm] C^4/U_2
[/mm]
Als erstes habe ich einen Komplementärraum von [mm] U_2 [/mm] bestimmt:
Die Vektoren als Zeilen geschrieben und Anwendung von Gauß ergibt:
[mm] \pmat{ 1&2&2&i \\ 0&2-i&1&i} [/mm] =>
[mm] \pmat{ 1&2&2&i \\ 0&1&1/(2-i)&i/(2-i)}
[/mm]
Diese Treppenform zu einer Basis von [mm] C^4 [/mm] ergänzt gibt:
[mm] \pmat{ 1&2&2&i \\ 0&1&1/(2-i)&i/(2-i) \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1}
[/mm]
Also ist
[mm] \{\pmat{0\\0\\1\\0}+U_2 , \pmat{0\\0\\0\\1} + U_2 \} [/mm] eine Basis von [mm] C^4//U_2.
[/mm]
Bestimmung eines zu U1 kompl. UVR:
Die gleiche Vorgehensweise:
[mm] \pmat{2&3&4&i\\1&1&1&0} [/mm] => .. => [mm] \pmat{1&2/3&4/3&i/3\\0&1&-1&-i}
[/mm]
Ergänzt:
[mm] \pmat{ 1&2/3&4/3&i/3\\0&1&-1&-i \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1}
[/mm]
Also ist
[ [mm] \pmat{0\\0\\1\\0}, \pmat{0\\0\\0\\1}] [/mm] eine kompl. UVR von [mm] U_1.
[/mm]
Ist diese Vorgehensweise überhaupt richtig? Bin mir beim Lösen der Aufgabe sehr unsicher. Hat jemand einen Tipp, wie man an die Bestimmung der Basis von [mm] (U_1 [/mm] + [mm] U_2)/(U_1 \cap U_2) [/mm] herangeht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für jede Hilfe!
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> Es seien die folgenden Untervektorräume von [mm]C^4[/mm] gegeben:
>
> [mm]U_1[/mm] := [ [mm]\pmat{3\\
2\\
4\\
i}, \pmat{1\\
1\\
1\\
0}][/mm] und [mm]U_2[/mm] :=
> [mm][\pmat{1\\
2\\
2\\
i}, \pmat{0\\
2-i\\
1\\
i}][/mm]
>
> Bestimmen Sie jeweils eine Basis von [mm](U_1[/mm] + [mm]U_2)/(U_1 \cap U_2)[/mm]
> und [mm]C^4/U_2[/mm] und finden Sie einen zu [mm]U_1[/mm] komplementären
> Untervektorraum.
> Hallo!
>
> Ich bin so vorgegangen:
> Zur Bestimmung der Basis von [mm]C^4/U_2[/mm]
> Als erstes habe ich einen Komplementärraum von [mm]U_2[/mm]
> bestimmt:
> Die Vektoren als Zeilen geschrieben und Anwendung von
> Gauß ergibt:
>
> [mm]\pmat{ 1&2&2&i \\
0&2-i&1&i}[/mm] =>
>
> [mm]\pmat{ 1&2&2&i \\
0&1&1/(2-i)&i/(2-i)}[/mm]
> Diese Treppenform
> zu einer Basis von [mm]C^4[/mm] ergänzt gibt:
>
> [mm]\pmat{ 1&2&2&i \\
0&1&1/(2-i)&i/(2-i) \\
0&0&1&0 \\
0&0&0&1}[/mm]
>
> Also ist
> [mm]\{\pmat{0\\
0\\
1\\
0}+U_2 , \pmat{0\\
0\\
0\\
1} + U_2 \}[/mm] eine
> Basis von [mm]C^4//U_2.[/mm]
>
> Bestimmung eines zu U1 kompl. UVR:
> Die gleiche Vorgehensweise:
> [mm]\pmat{2&3&4&i\\
1&1&1&0}[/mm] => .. =>
> [mm]\pmat{1&2/3&4/3&i/3\\
0&1&-1&-i}[/mm]
> Ergänzt:
> [mm]\pmat{ 1&2/3&4/3&i/3\\
0&1&-1&-i \\
0&0&1&0 \\
0&0&0&1}[/mm]
>
> Also ist
> [ [mm]\pmat{0\\
0\\
1\\
0}, \pmat{0\\
0\\
0\\
1}][/mm] eine kompl. UVR
> von [mm]U_1.[/mm]
>
> Ist diese Vorgehensweise überhaupt richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bis hierher ist alles richtig.
> Bin mir beim
> Lösen der Aufgabe sehr unsicher. Hat jemand einen Tipp,
> wie man an die Bestimmung der Basis von [mm](U_1[/mm] + [mm]U_2)/(U_1 \cap U_2)[/mm]
> herangeht?
Ich würde erstmal Basen von [mm] $(U_1$ [/mm] + [mm] $U_2)und (U_1 \cap U_2)$ [/mm] bestimmen,
dann die Basis von [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] zu einer Basis von [mm] U_1+U_2 [/mm] ergänzen.
Wie weitergeht, weißt Du dann bestimmt.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Danke für jede Hilfe!
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Fr 14.01.2011 | | Autor: | maxBerlin |
Danke für's kontrollieren!
Den Rest der Aufgabe habe ich dann doch alleine hingekriegt!
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